あらい面上における質量があるロープの運動

長さ$l$,\ 質量$m$の一様なロープがあらい机の上に一部だけ端から垂らした状態で静止し ている.\ 机とロープの間の静止摩擦係数を$\mu₀$,\ 動摩擦係数を$\mu’$,\ 重力加速度の大きさ を$g$とする.\ また,\ 机の角と鉛直面はなめらかであるとする.  垂れている部分の長さが$x₀$を超えるとロープがすべり始める.\ $x₀$を求めよ.  垂れている部分の長さが$x\ (>x₀)$のとき,\ ロープの加速度$a$と机の角における { }張力$T$を求めよ. 質量0の糸が右端からT₁,\ 左端からT₂の力を受け,\ 加速度aで右向きに運動しているとする. 運動方程式は 0 a=T₁-T₂    T₁=T₂ 今まで意識してこなかったが,\ {軽い糸の張力は場所によらず等しい}理由がここにある. 逆に言えば,\ {質量をもつ糸が加速度運動している場合,\ 場所によって張力が変化する}. ひもに質量がある問題は,\ 以上に注意して解くことになる. 実際には,\ {ロープを軽い糸でつながれた複数の質量がある物体が連結したものとみなすことになる. 結局,\ 本問では上右図のように考えれば済む. 一様なロープであるから,\ {各部分の質量は長さに比例}する. 長さx₀の部分の質量は,\ 質量がmである長さlのうちのx₀であるから,\ m{x₀}{l}\ である. 長さl-x₀の部分の質量も同様に求めると,\ 後は基本的な力のつりあいの問題である. 重力と接触力を図示して座標軸を設定した後,\ 力のつりあいの式を立てて連立する. なお,\ 物体が動き始める直前は最大静止摩擦力となっており,\ \mu₀N\ と表せる. 摩擦力が動摩擦力\mu’Nとなることと,\ 運動方程式を立式すること以外はと同じである. 当然,\ 運動方程式の左辺の質量は各部分ごとの質量である. また,\ xが長くなるにつれて,\ 垂れ下がった部分の質量は増加し,\ 机の上の部分の質量は減少する. すると,\ 速度はもちろんだが,\ {加速度も増加する}.\ つまり,\ {ロープの運動は等加速度運動ではない}. よって,\ ロープの速度・位置・時間を等加速度運動の公式で求めることはできない.
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