積み重なった2物体の摩擦力を介する運動②:下を動かす

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なめらかな床の上に質量$M$の物体Aがあり,\ その右端に質量$m$の物体Bを乗せた. 物体Aと物体Bの間の静止摩擦係数を$\mu₀$,\ 動摩擦係数を$\mu’$,\ 重力加速度の大きさを $g$とする. 物体Aを大きさ$F₁$の力で引いたところ,\ 物体Aと物体Bは一体となって動いた. このときの加速度の大きさ$a₁$と,\ 物体Aと物体Bの間にはたらく摩擦力の大き さ$f₁$を求めよ. 物体Aを引く力$F$を徐々に大きくしていくと,\ $F=F₂$を超えたところで物体B が物体Aの上をすべりはじめる.\ $F₂$を求めよ. $F>F₂$のとき,\ 物体Aの加速度$a_{ A}$と物体Bの加速度$a_{ B}$を求めよ. 物体Bが物体A上を距離$L$移動するのにかかる時間$T₁$を求めよ. 物体Aを指で弾き飛ばして初速度$V₀$を与えたところ,\ 物体Bは物体Aの上をあ る距離だけすべったところで静止し,\ その後一体となって運動を始めた.\ 一体とな るまでに物体Bが物体A上を移動した距離$x$,\ かかった時間$T₂$,\ さらに一体とな ったあとの両物体の速さ$V$を求めよ. 積み重なった2物体の運動 運動方程式解答手順1パターンにしたがって順番に思考していく. まず,\ 2物体{A,\ B}にはたらく重力と接触力を図示する. 本問では,\ 外部からの力F₁に影響される物体{A}から先に考慮する. 物体{A}は床,\ 物体{B},\ 力F₁を加えているなんらかと接触している. なめらかな床であるから,\ 床から受ける接触力は垂直抗力だけである.\ N_{ A}とする. 物体{B}から受ける接触力は,\ {摩擦力と物体{A}が物体{B}に与える垂直抗力N_{ B}の反作用}である. A}は{B}に対して相対的に右に動こうとするから,\ {A}は{B}から左向きの摩擦力を受ける.} {物体Aに対して物体Bは静止しているから},\ 動摩擦力ではない. また,\ {物体Aに対して物体Bが動きはじめる直前ではないから},\ 最大静止摩擦力ではない. つまり,\ {物体Aと物体Bの間にはたらく摩擦力は単なる静止摩擦力なので}\ \mu Nとは表せない. 物体{B}にはたらく接触力は,\ {物体{A}からの垂直抗力と Aが Bから受ける摩擦力の反作用}である. 物体{B}は右に動くから左向きの摩擦力を受けるなどと考えてはいけない. B}は{A}に対して相対的に左に動こうとするから,\ {B}は Aから右向きの摩擦力を受ける.} そもそも,\ 物体 Aから右向きの力を受けることによって物体 Bが右に動くのである. もし静止していた物体 Bが左向きの力を受けたならば,\ 物体 Bは左向きの運動を始めるはずである. 物体が運動する方向(右向き)をx軸の正方向とする座標軸を設定し,\ 加速度も右向きを正とする. 力を分解する必要はないので,\ 後は立式するだけである.\ 連立するとa₁,\ f₁が自動的に求まる. 結果的にはy軸方向のつりあいは必要ない. 一体となって運動しているとき,\ {1つの物体とみなして運動方程式を立てる}こともできる. ただし,\ この方法では2物体間にはたらく力f₁を求めることができない. 基本的な状況はと同様である. ただし,\ {物体{B}がすべりはじめる直前,\ 物体{AとB}の間には最大静止摩擦力がはたらく.} よって,\ このときの摩擦力は\ \mu₀N\ と表すことができる. 後は立式後に連立すればよいが,\ {x軸方向はつりあっていない}ことに注意してほしい. 物体{A,\ B}を一体とみなすと,\ 全体として外部からFの力を受けている. なめらかな床からは逆向きの力を受けないので,\ 一体となった物体のx軸方向がつりあうことはない. つまり,\ Fと同じ向きに加速度運動することになるので,\ 立てるべきは運動方程式である. のf₁\ 利用すると手っ取り早い.\ つまり,\ {f₁が最大静止摩擦力以下であればすべらない.} すべらない条件は f₁\mu₀N_{ B} より {mF₁}{M+m}\mu₀mg   よって F₁\mu₀(M+m)g ゆえに,\ F₂=\mu₀(M+m)g\ を超えるとすべりはじめる. 物体 A上を物体 Bがすべるとき,\ 当然その間にはたらく摩擦力は{動摩擦力}となる. 動摩擦力は常に\ \mu N\ で表せる.\ また,\ 加速度は異なるから,\ a_{ A},\ a_{ B}\ として立式・連立する. なお,\ 2物体間の相互作用は,\ 最初に力を図示した時点ですでに考慮を完了している. よって,\ その後の運動の考察や立式において相手の影響を考える必要は一切ない. 物体 Aと物体 Bが互いに独立した加速度運動していると考えて求めれば済むのである. さて,\ a_{ A},\ a_{ B}は{地上で静止中の人から見た加速度}である. よって,\ 等加速度運動の公式\ x=v₀t+12at²\ で{地上で静止中の人から見た移動距離}が求まる. ゆえに,\ {L=( Aの移動距離)-( Bの移動距離)}\ が成立する. T₁について解いた後,\ のa_{ A},\ a_{ B}\ を代入して整理する. 運動量保存則}力積と運動量の関係} 物体{A}に与えられたのは初速度であり,\ その後{進行方向の力を何も受けていない}. よって,\ {A}の運動は4つの力Mg,\ N_{ A},\ N_{ B},\ \mu’N_{ B}\ で決まることに注意して立式する. 連立するとまず加速度が求まる.\ さらに,\ 等加速度運動の公式\ v=v₀+at\ より,\ 速度の式を立てる. 題意より,\ 2物体の速度が一致するときの時間を求めればよい.\ T₂からそのときの速度Vも求まる. 物体 Aの初速度V₀に注意して{地上で静止中の人から見た移動距離}を考えると,\ xが求められる. 速さと時間は{力積と運動量}を利用して求めることもできる. なめらかな床からは外力を受けないから,\ 2物体の水平方向の運動量の合計は保存する. 最終的に一体になると考えて,\ {運動量保存則}が適用できる.  MV₀+m0=(M+m)V また,\ 物体 BはT₂の間に力\mu’N_{ B}\ を受け続けて早さが0からVになった. {(力積\ F t)=(運動量の変化)}より,\ \mu’N_{ B} T₂=mV-m0\ が成立する.
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高校物理 力学
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