水圧と浮力、アルキメデスの原理

圧力 単位面積当たりの力.\ 単位はパスカル$([{Pa}]=[N/m}²])$.     $F$\ [N]の力が面積$S$\ [m$²$]の面にはたらくときの圧力$p$\ [Pa]は  dy}{${p={F}{S}$  水圧 水の密度を$ρ$\ [kg/m$³$],重力加速度を$g$\ [m/s$²$]とする.     水深$h$\ [m]における水圧を$p$\ [Pa]は  dy}{${p=ρ hg$ (水のみを考慮)     実際には大気圧$p₀$も考慮して  dy}{${p=p₀+ρ hg$  浮力   流体中の物体は上下左右から水圧を受ける(水圧は深いほど大きい).   このとき,\ 左右から受ける水圧は,\ 互いに逆向きで同じ大きさであるから打ち消し合う.   一方,\ 下から受ける水圧は上から受ける水圧より大きい.   結局,\ 物体は流体から上向きの合力を受けることになる.\ これが浮力である.   浮力を計算で求めよう.\ 物体(直方体)の底面積を$S$[m$²$]とする.     ${(浮力F)}=(底面から受ける力)-(上面から受ける力)}$}     $(浮力F)={p₀+ρ(d+h)g}S-(p₀+ρ dg)S=ρ hgS={ρ Vg={M_{流}g$}   流体の密度を$ρ$\ [kg/m$³$],\ 物体の{流}{体}{中}の体積を$V$\ [m$³$]とする.   $Sh=V$より,\ 物体にはたらく浮力$F$\ [N]は  dy}{${F=ρ Vg$   さらに,\ $ρ V=(流体の質量)$であるから,\ これを$M_{流}$とすると  dy}{${F=M_{流}g$   つまり,\ 次のアルキメデスの原理が導かれる.   green}{.2}{dy}dy}{流体中の物体は,\ それによって排除された流体の重さに等しい大きさの浮力を受ける. 力[N]}と圧力[N/m}²]は別物であることに注意する. 同じ大きさの力であっても,\ くぎの頭と先を手の平に押しつけたときの痛さは異なるはずである. 接触面積Sが小さい方が圧力pが大きくなるからである. 水圧の公式は暗記でよいが,\ {浮力は原理を理解した上で水圧から導ける}必要がある. 直方体の底面・上面が受ける力は,\ (水圧)(底面積)で求められる. この差\ ρ hgS\ が浮力である.\ 真に重要なのは,\ 変形した\ {ρ Vg\ と\ M_{流}g}である. ρ Vgについては複数の注意点がある.\ まず,\ ρは物体の密度ではなく{流体の密度}である. また,\ Vは物体の体積ではなく{物体の流体中の体積}である. hのうちのxだけが流体中にあるとする.\ つまり,\ 物体の上部は流体の外に出ている. (浮力F)=(p₀+ρ xg)S-p₀S=ρ xgS=ρ Vg\ とすると,\ V=Sx\ である. 物体がどれだけ流体中にあるかで浮力の大きさが決まるわけである. さらに,\ ρ\ [kg/m³] V\ [m³]は流体の質量[kg}]である(物体の質量ではない). よって,\ 浮力は{物体がなければそこに存在したはずの流体が受ける重力と等しい}ともいえる. これがアルキメデスの原理である. 結局,\ 浮力は深さや物体の密度・質量には依存せず,\ {流体の密度と物体の流体中の体積で決まる.} 密度$ρ₀$[kg/m$³$],\ 長さ$h$[m]の円柱を密度$ρ\ (>ρ₀)$[kg/m$³$]の液体に垂直に浮かべたと き,\ 液体中にある部分の長さを求めよ.  液体中にある部分の長さを$x$[m],\ 円柱の底面積を$S$[m$²$],\ 重力加速度を$g$[m/s$²$]とする.  円柱にはたらく重力は $ρ₀Shg}$[N]  円柱にはたらく浮力は $ρ Sxg}$[N]  円柱における力のつりあいより 最初から長さはどうやって求めればよいのだろうなどと考えてはいけない. まずは{問題の状況において成り立つべき物理法則が何か}を考えるべきである. 円柱は静止しているから,\ 力はつりあっているはずである. よって,\ 長さを求めようなどと考えずにとにかく力のつりあいの式を立てることを考える. 成り立つべき物理法則さえ数式で作成してしまえば必要な物理量は勝手に求まる. このとき,\ 立式に必要な物理量が問題で与えられていない場合,\ 自分で設定してでも立式する. 円柱が受ける力は重力と接触力(浮力)の2つだけである. しかし,\ 重力も浮力も問題の文字だけでは表せないので,\ x,\ S,\ gを自分で設定する. (円柱の質量)=(密度ρ₀)(体積Sh)=ρ₀ Sh\ より,\ 円柱が受ける重力は\ ρ₀Shg\ である. (円柱の流体中の体積)=Sx\ より,\ (浮力)=ρ Sxg\ である. 等式を作成すると,\ S,\ gが勝手に消えてxが勝手に求まる. 最後に思考過程をおさらいしておく.  「長さ?とりあえずどうでもいい」 →「静止しているからつりあいの式が成立するはず」 →「何がともあれ,\ 最低限つりあいの式を立てる必要がある」 →「必要な文字が足りないから自分で設定しよう」 →「つりあいの式を立ててみたら勝手に長さが求まった」 ばねはかりにつるした質量0.15kgのおもりを台はかりの上にあるコップの中の水中に 完全に入れたところ,\ ばねばかりは0.10kgを示した.\ コップと水の合計質量を0.40kg,\ 重力加速度の大きさを9.8m/s$²$とする.  おもりが受ける浮力の大きさ$F$を求めよ.  台はかりは何kgを示すか.  おもりにおける力のつりあいより { }    $F+0.109.8=0.159.8}$ { }よって ${F}=0.0509.8={0.49}$[N]}  コップと水が受ける垂直抗力を$N$とする. { }コップと水における力のつりあいより { }    $F+0.409.8=N}$ { }よって $N=0.459.8$ { }$ 台はかりは{0.45kgを示す. 浮力はおもりが受ける力のつりあいを考えると求められる. 重力に加え,\ 2つの接触力{「ばねからの弾性力」「水からの浮力」}を受ける. ここで,\ ばねはかりが示す質量とは,\ {ばねはかりが受ける力を重力加速度9.8で割った値}である. ばねはかりが0.10kg}を示すとき,\ ばねはかりはおもりから大きさ0.109.8[N]}の力を受けている. 逆に,\ ばねはかりはおもりを大きさ0.109.8[N]}の力で引いている. これが,\ おもりがばねはかりから受ける弾性力である. 結局は,\ 浮力は実際の質量とばねはかりが示す質量の差0.050kg}にかかる重力と等しい. コップと水を1つの物体とみて考える.\ 以下では,\ 単に水と表現する. 台はかりが示す質量とは,\ {台はかりが水から受ける力を重力加速度9.8で割った値}である. 台はかりが水から受ける力とは,\ {水が台はかりから受ける垂直抗力Nの反作用}である. つまり,\ 垂直抗力Nを求め,\ それを9.8で割ると台はかりが示す質量が求められる. 水は,\ 重力に加えて,\ 2つの接触力{「垂直抗力」「浮力の反作用」}を受ける. 盲点となるのは浮力の反作用である. {物体が水から浮力を受けるとき,\ 逆に水は物体から浮力の反作用を受ける}のである. 最後9.8で割るから,\ N=0.0509.8+0.409.8=0.459.8\ のように計算すると楽である. 結局は,\ コップ+水の質量0.40kg}と浮力の反作用0.050kg}の和0.45kg}を示すわけである.
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