モンキーハンティング(2物体の空中衝突)

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時刻$t=0$に座標$(l,\ h)$の点から小球Bを自由落下させるのと同時に,\ 原点から小球A を$x$軸と角$θ$をなす方向に速さ$v₀$で打ち出す.\ 重力加速度を$g$とする. 小球Aの$x$座標が$l$になるときの時刻$t$を求めよ. 時刻$t$における小球Aの$y$座標$y_A$と小球Bの$y$座標$y_B$を求めよ. 2つの小球が衝突するときの$tanθ$を$l,\ h$で表せ. 小球Bの地面到達前に衝突が起こるために$v₀$が満たすべき条件を$g,\ l,\ h$で表せ.   2球が衝突する条件は$y_A=y_B}$である.     よって $v₀sinθ t-12gt²=h-12gt²$ より $v₀sinθ t=h$     を代入すると $ltanθ=h$    $ {tanθ= hl}$ 本問は{木から落ちる猿を矢で撃ち抜くときのモデル}である. その条件は,\ {ある時刻において2物体の座標が一致}することである. 小球{B}のx座標は常にlなので,\ 小球{A}のx座標がlになったときにy座標が一致すると衝突する. まず,\ このときの時刻を求める.\ これがである. 小球{A}はx軸方向には{v_x=v₀cosθで等速直線運動}する. よって,\ {(距離)=(速さ)(時間)}\ でtを求めることができる. 小球{A}はy軸方向には{鉛直投げ上げ運動}である. 公式\ y=v₀t+12at²\ において\ {v₀\ →\ v₀sinθ,\ a\ →\ -g}\ とする. 小球{B}は{自由落下運動}だが,\ 小球{A}の初期位置を原点とする座標系で考えなければならない. つまり,\ 初期位置のy座標が0ではなくhであることに注意する必要がある. {(最終位置)=(初期位置)+(変位)=h+v₀t+12at²}\ で,\ {v₀=0,\ a=-g}\ とする. y_A=y_B\ を立式するとうまく\ 12gt²\ が消える.\ この後でのtを代入すると楽である. v₀sinθ{l}{v₀cosθ}=h より tanθ l=h   この結果の物理的意味が重大である. {tanθ= hl\ を満たす角θとは,\ 小球{B}の初期位置に照準を合わせたときの角度}である. また,\ 衝突の条件の中にv₀が含まれていない. つまり,\ {時刻と照準さえ合わせて矢を発射すれば,\ 発射速度によらず命中する}のである. 時刻と照準を合わせても,\ あまりにも速度が遅すぎると命中する前に地面に到達してしまう. そうならないための条件が\ {(衝突時刻t={l}{v₀cosθ}\ におけるy_B)>0}\ である. これをv₀について解けばよい.\ さらにを利用してθを消去する. 1+tan²θ={1}{cos²θ} より {1}{cos²θ}=1+{h²}{l²} cosθは,\ 原点{O},\ (l,\ 0),\ (l,\ h)が作る直角三角形を利用してcosθ\ は図形的に求めてもよい.\ 原点{O}と(l,\ h)の距離は{l²+h²}\ であるから,\ cosθ={l}l²+h²\ である.
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高校物理 力学
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