ばねのついた物体との衝突と分裂

なめらかな平面上に質量$m$の物体Aと質量$M\ (>m)$の物体Bがおかれており,\ 物体 Bには自然長$l$,\ ばね定数$k$の軽いばねが水平に取り付けられている.\ 物体Aに速さ$v$ を与えて物体Bのばねに衝突させた.\ 衝突によるエネルギー損失はないものとする.  衝突後,\ ばねが最も縮んだときの物体Aと物体Bの速さを求めよ.  ばねが最も縮んだときの自然長からの縮み$x$を求めよ.  2物体が分離した後の物体Aと物体Bの速さを求めよ. ばねが最も縮んだときの物体Aと物体Bの速さは同じ}であり,\ これを$V$とする. 物体{A,\ B}全体に着目すると,\ 水平方向には外力による力積を受けない. よって,\ 衝突前後で運動量が保存する.\ 物体{A,\ B}が同じ速さになることに注意して立式する. 物体 Bに乗った人の立場でみると,\ 物体 Aは最初近づいてきてある瞬間から遠ざかっていく. その瞬間,\ {物体 Bに乗った人の立場からみた物体{A}の相対速度は0}になる. これは,\ 物体 Aと物体 Bが同じ速さであることを意味している. (物体{A}の運動エネルギー)=(物体{A,\ B}の運動エネルギー)+(ばねの弾性エネルギー) 分離後,\ 物体{A}の向きが衝突前と同じ向きか逆向きかがわからない. よって,\ 速さではなく{速度を文字で設定}し,\ とりあえず{AからB}の向きと仮定して立式する. 未知数は{V_{ A’と{V_{ B’であることに注意して連立方程式を解く. エネルギー保存則は2次式なので,\ この連立方程式を加減法で解くことはできない. 連立方程式の大原則{「1文字消去」}を行う. つまり,\ を{V_{ A’=v- Mm{V_{ B’\ と変形してに代入し,\ {V_{ B’のみの方程式にすればよい. こうして求まるが,\ 速度のみの2つの保存則の連立ではより簡潔な方法がある. これは,\ {物体 Aの分離後の速度の向きが衝突前と逆向きになる}ことを意味している. 問われているのは速度ではなく速さであるから,\ 速度{V_{ A’\ の大きさを答えなければならない. {絶対値をとることで正にして答える}ことになる.  {V_{ A’}={M-m}{M+m}v エネルギーが保存するということは,\ {弾性衝突(反発係数1)}であることを意味する. これとを連立して求めるほうが楽である. 反発係数の式を変形すると\ v+{V_{ A’={V_{ B’\ となる.\ は反発係数の式だったのである.
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