振り子と半球面上の小球の運動(鉛直面内の円運動)

質量$m$の小球に長さ$l$の軽い糸をつけ,\ 点Oを中心に鉛直面内で円運動させるために 最下点で初速度$v₀$を与えた.\ 重力加速度の大きさを$g$とする.  円運動するための$v₀$の条件を求めよ.  糸の変わりに軽い棒を用いたとき,\ 円運動するための$v₀$の条件を求めよ. 遠心力)}$} 小球上の観測者 最高点における速さを$v$,\ 糸の張力を$T$とする. 鉛直面内での円運動は{非等速円運動}である.\ この場合のポイントは2つである. 1点目は,\ {各点においては等速円運動と同様の式が成立する}ことである. 2点目は,\ 各点における速さを関連づけるために{エネルギー保存則が利用できる}ことである. 糸の張力は常に進行方向と垂直で仕事をしないため,\ 力学的エネルギーが保存するのである. 結局,\ {鉛直面内での円運動の問題では円運動の式と力学的エネルギー保存則を連立することになる. 糸がたるむことなく円運動するための条件は,\ {最高点における張力T0}である. vが最も小さくなる最高点において,\ m{v²}{l}\ は最小になる. また,\ 重力の中心方向の成分は最高点で最大になる. よって,\ {張力\ T=m{v²}{l}-mg\ は最高点で最小になる}といえる. 円運動の式は,\ 地上と小球上のいずれの立場でも立式できる. 地上の観測者から見ると加速度運動であるから,\ 運動方程式を立てる. 小球上の観測者から見るとつりあっている.\ 遠心力(慣性力)を考慮してつりあいの式を立てる. なお,\ 位置エネルギーの基準は最下点で,\ 最高点における速さは\ v={gl}\ である. 棒を用いた場合は円軌道からはずれないため,\ {最高点における速さv>0}\ が条件となる. つまり,\ 力学的エネルギー保存則のみで決まる.\ v=0のときは最高点で静止してしまう. なめらかな面をもち中心をOとする半径$r$の半球が水平面に固定されている.\ 半球の 最高点Aで質量$m$の小球を静かに放したところ,\ $∠{AOB}=θ$となる点Bで半球面か ら離れた.\ このときの高さ$h$と速さ$v$を$r$と重力加速度の大きさ$g$で表せ. 地上の観測者} 中心方向の運動方程式   m{v²}{r}=mgcosθ-N} & 力学的エネルギー保存則 中心方向のつりあい    N+m{v²}{r}=mgcosθ} & 力学的エネルギー保存則 目新しいことは特にない.\ 点{B}における円運動の式と力学的エネルギー保存則を連立する. まず,\ 重力と接触力(垂直抗力のみ)を図示する.\ 小球上の観測者から見る場合は遠心力も図示する. 円運動では必ず{円の中心方向に軸をとる.}\ すると,\ {重力mgを分解}することになる. 位置エネルギーの基準は水平面とした. {面から離れるときN=0}である.\ 連立するとcosθが求まり,\ これを元にh,\ vを求めればよい.
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