等速円運動、復元力と単振動

変位  速度 加速度}振動両端振動中心}) 単振動の周期${T}$[s],振動数${f}$[Hz],角振動数${ω}$[rad/s]\ の関係復元力  単振動に必要な力.\ 常に振動中心向きで,\ 大きさは変位に比例する.} 単振動の周期 {等速円運動を真横から見る(縦軸xへ正射影する)と単振動になる.} 単振動の初期位置を原点とする.\ 等速円運動において,\ 時刻tまでの回転角はθ=ω tである. よって,\ このときの単振動の変位は\ x=Asinω t\ となる.\ これを図示したのがx-t図である. 等速円運動では,\ 速度は大きさAωで円の接線方向,\ 加速度は大きさAω²で円の中心方向であった. これらをx軸に正射影すると,\ v=Aωcosω t,\ a=-Aω²sinω t\ が得られる. また,\ x=Asinω tより,\ {a=-ω²x\ と表せることが極めて重要である. 数III}の微分を学習するとより本質的で簡潔にv,\ aを求めることができるようになる. v={dx}{dt}=Aωcosω t   a={dv}{dt}=-Aω²sinω t 速さ\ v}=Aωcosω t},加速度の大きさ\ a}=ω²x}\ について考える. 最大値\ v=Aω,a=Aω²\ は暗記しておく. 振動数fは,\ 等速円運動における1秒あたりの回転数[回/s}]\ に相当する. また,\ 角振動数ωは,\ 等速円運動における角速度に相当する. 周期を含めた関係も等速円運動の場合と同様である. a=-ω²xと運動方程式より,\ {単振動する物体にはたらく力は\ F=ma=-mω²x}\ である. さらに定数mω²\ をKとおくと,\ {F=-Kx}\ と表される. x>0のときF<0,\ x<0のときF>0より,\ {力Fは常に振動中心を向く.} また,\ その{大きさF}=Kx}は,\ 振動中心からの距離x}に比例する.} 結局,\ 単振動する物体には{振動中心から離れるほどより強く引き戻そうとする力がはたらいている.} だからこそ単振動するともいえる. 逆は示してないが,\ {単振動することと復元力F=-Kxがはたらくことは必要十分条件}なのである. つまり,\ 単振動している物体には,\ 必ずF=-Kx\ で表される力がはたらいている. 逆に,\ 物体にはたらく力がF=-Kxで表されるとき,\ その物体は単振動する. 運動方程式\ ma=-Kx より a=-{K}{m}x   a=-ω²x\ と比較すると ω={ Km} よって T={2π}{ω}=2π{ mK}  (無断使用可能な公式であるが導き方もおさえておく)
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