剛体の力学:壁に立てかけた棒のつりあい

長さ$L$,\ 質量$M$の一様な棒を床と角$θ$をなすようになめらかな壁に立てかける.\ 棒と 床の間の静止摩擦係数を$\mu₀$,\ 重力加速度を$g$とする.  棒がすべりはじめないための角度の条件を求めよ.  質量$3M$の人は棒の上をどこまで登れるか. 壁に立てかけた棒のつりあい  水平方向の力のつりあいより  $R=F}$ { }鉛直方向の力のつりあいより  $Mg=N}$ { }力のモーメントのつりあいより $R Lsinθ=Mg12Lcosθ}$ { }摩擦力の条件は いきなり角度の条件を考えようとしてはいけない. まずは成り立つべき物理法則が何かを考え,\ それをすべて数式で表現する. {剛体が静止}している本問では,\ {通常の力のつりあいに加えて力のモーメントのつりあいが成立する. とりあえずこれらの式を全て立式する.\ 立式に必要な文字が与えられていない場合は自分で設定する. 力のつりあいの問題の基本手順通りに思考を進める. まずは着目物体である棒にはたらく力(重力と接触力)をすべて図示する. 「一様な」とあるから,\ 棒の重力は中央部分(重心)にはたらくと考えられる. 「なめらかな」とあるから,\ 壁からは摩擦力を受けない.\ 垂直抗力のみを受ける. 床からは垂直抗力と摩擦力を受ける. 棒は床に対して相対的に右に動こうとするから,\ 床からは左向きの摩擦力を受ける. 次に座標軸を設定する.\ 当然,\ 水平方向と鉛直方向に軸をとる. 後はそれぞれの方向の力のつりあいの式を作成すればよい. {未知の力が2つある棒と床の接触点を回転軸}として力のモーメントのつりあいを考える. 本問では距離を分解してモーメントを求めるのが自然である(左図). Mgの作用線と回転軸,\ Rの作用線と回転軸の距離はそれぞれ12Lcosθ,\ Lsinθ\ である. よって,\ 力のモーメントはそれぞれ,\ Mg12Lcosθ,\ R Lsinθ\ となる. 練習のため,\ 力を分解する方針でもモーメントを求めてみる(右図). {MgとRを距離の方向(棒と平行な方向)とそれに垂直な方向に分解する.} それぞれ,\ Mgcosθ L2,\ Rsinθ L\ として求められる.\ もちろん先の結果と一致している. さらに,\ 棒がすべりはじめないための条件を考える. {棒がすべりはじめる限界の角度であるとき,\ 最大静止摩擦力となり\ F=\mu₀N\ が成立する.} つまり,\ Fが\ \mu₀N\ を超えると棒がすべりはじめるため,\ {F\mu₀N\ がすべりはじめない条件}である. 以上の4式を連立して自分で設定した未知の文字を消去すると,\ 自動的に角度の条件が導かれる. R=F,\ Mg=N,\ F\mu₀N\ より R\mu₀Mg さらに力のモーメントのつりあいの式より R={Mg}{2tanθ} よって {Mg}{2tanθ}\mu₀Mg より {1}{2tanθ}\mu₀   ゆえに  棒の下端から人が登れる距離を$x$とする. { }水平方向の力のつりあいより  $R=\mu₀N}$ { }鉛直方向の力のつりあいより  $Mg+3Mg=N}$ { }力のモーメントのつりあいより $R Lsinθ=Mg12Lcosθ+3Mg xcosθ}$ $ {棒の下端から\ {8\mu₀tanθ-1}{6}L\ 登った点.}$} $[l} {棒が人から受ける力も加えてつりあいを考える}(人が棒から受ける力は必要ない). {棒が人から受ける力は鉛直下向きに3Mg}である. これは,\ {人が棒から受ける力(鉛直上向き)の反作用}である. 人が棒から受ける力が鉛直上向きであることに疑問を感じた人もいるかもしれない. 人が棒から受ける力は,\ 垂直抗力(当然棒と垂直をなす向き)と摩擦力(斜面上向き)である. この2力の合力が鉛直上向きになるのである. もし合力が鉛直上向きでない場合,\ 人は水平方向の成分をもつ合力を棒から受けていることになる. この場合,\ 人における水平方向の力のつりあいが成立しないため,\ 人は静止していられない. 人がその場で静止していられるのは,\ 水平方向の合力を外部から受けていないからなのである. {人が限界まで登ったとき,\ Fは最大静止摩擦力となり\ F=\mu₀ N\ が成立する.} 以上を踏まえて3つのつりあいの式を作成し,\ 未知数を消去すると自動的にxが求まる.
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