動く三角台上の物体の運動(慣性力)、物理の検算法

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なめらかな床上に質量$M$,\ 傾斜角$θ$の三角台があり,\ そのなめらかな斜面上に質量$m$ の小物体をのせたまま三角台を一定の加速度で運動させたところ,\ 小物体は斜面上で 静止していた.\ 重力加速度の大きさを$g$とする.  三角台の加速度の大きさ$A₁$を求めよ.  小物体が三角台に与える力の大きさ$N₁$を求めよ. 次に,\ 静止した三角台の斜面に小物体をのせて静かに手を離したところ,\ 小物体が斜 面をすべり落ちるとともに三角台が運動し始めた.  三角台の加速度の大きさ$A₂$を求めよ.  小物体の斜面に対する加速度$a$を求めよ.  小物体が三角台に与える力の大きさ$N₂$を求めよ. 小物体は,\ 地上の観測者から見ると等加速度運動,\ 三角台上の観測者から見ると静止している. ここでは,\ {三角台上の観測者の立場}でつりあいの式を立てる. 重力と接触力(三角台から受ける垂直抗力のみ)に加えて慣性力を図示する. の小物体が三角台に与える力の反作用が小物体が三角台から受ける垂直抗力である. 力の大きさは等しいので,\ 垂直抗力をN₁としてこれを求める. 上図において,\ 垂直抗力N₁の水平方向の成分が左向きであるから,\ {加速度の向きも左向き}である. もし加速度を右向きに仮定すると,\ 慣性力は左向きとなるから水平方向の力がつりあわなくなる. この場合小物体は静止してはいられない.\ 常識的に考えても加速度の向きは明らかだろう. 結局,\ 小物体のみに着目してつりあいの式を立式すれば済む. なお,\ 地上の観測者の立場で考える場合,\ 当然慣性力mA₁ははたらかない. 水平方向はN₁sinθ\ による加速度運動であり,\ 運動方程式\ mA₁=N₁sinθ\ となる(一致). 三角台が床から受ける垂直抗力を$R$とする. 小物体 $ 斜面と水平方向の運動方程式 ma=mA₂cosθ+mgsinθ} & 斜面と鉛直方向のつりあい 水平方向のつりあい MA₂=N₂sinθ} & 鉛直方向のつりあい 小物体と三角台それぞれに着目して立式する必要がある. ただし,\ 小物体の運動は三角台上の観測者の立場で考える. 地上の観測者から見ると,\ 小物体の運動方向は斜面方向と水平方向の合成が必要で複雑だからである. {三角台上の観測者の立場ならば,\ 小物体は斜面下方向に等加速度運動する}だけである. 重力・接触力・慣性力を図示する.\ 慣性力はmaではなくmA₂であることとその向きに注意. 加速度A₂で動く三角台上の観測者の立場で考えているのである. さらに,\ 運動する向きの斜面下方向をx軸の正方向,\ それと垂直にy軸を設定し,\ 力を分解する. 後は,\ {x軸方向は運動方程式,\ y軸方向はつりあいの式}を立てればよい. 元々,\ 三角台上の観測者から見た斜面下向きの加速度をaとすることが問題で設定されている. よって,\ そのまま加速度aを用いて運動方程式を立式できる. 三角台の運動は単純で,\ 上図において{右向きの加速度運動}である. 三角台が受ける水平方向の外力が小物体からのN₂のみで,\ これが右向きの成分をもつからである. 地上の観測者と三角台上の観測者のどちらの立場で立式してもよい(ここでは三角台上の観測者). 接触力は小物体が三角台から受ける垂直抗力の反作用N₂と床からの垂直抗力Rである. 慣性力MA₂も忘れずに図示する. 運動する向きの水平右方向をx軸の正方向,\ それと垂直にy軸を設定し,\ 力を分解する. 後は,\ {x軸方向・y軸方向ともにつりあいの式}を立てればよい. MA₂=N₂sinθ\ は,\ 地上の観測者の立場で見ると運動方程式である. すべて立式した後は数学的処理を残すだけだが,\ やや大変である. 未知の文字がA₂,\ a,\ N₂,\ Rであることを意識して処理する(なお,\ 困ったら1文字消去が原則). まず,\ 未知の文字がA₂,\ N₂である,\ を連立する. なお,\ より\ R=N₂cosθ+Mg={Mmgcos²θ}{M+msin²θ}+Mg={(M+m)Mg}{M+msin²θ}\ である.物理の検算法 特殊な値の代入 $三角台の加速度A₂={mgsinθcosθ}{M+msin²θ}, 小物体の加速度a={(M+m)gsinθ}{M+msin²θ}$ $三角台からの垂直抗力N₂={Mmgcosθ}{M+msin²θ}, 床からの垂直抗力R={(M+m)Mg}{M+msin²θ}$ 上の問題では以上の答えを導いたわけだが,\ 本当に合っているのかという不安が残る. 物理では,\ 「特殊な値を代入してみる」ことで答えがもっともらしいかを確認できる. まず,\ ${θ}$がある場合は${0°,\ 90°}$を代入してみることが特に有効である. 代入した結果と物理的状況(下図)を比較すると,\ 答えがもっともらしいと判断できる. 本問では,\ 三角台の質量を${M→∞$とすることも有効である(数IIIの極限が必要). このとき,\ 斜面を完全に固定した場合を考えたことになる. この場合も,\ 答えがもっともらしいと判断できる. θ=0°のとき,\ 明らかに両物体は動かない. θ=90°のとき,\ 台は動かず,\ 小物体は自由落下する. 代入結果はこれらの特殊な場合を満たしている. 物理の検算法 単位の確認 物理では,\ 常に単位を確認することでミスを防ぐことができる. 例えば,\ 質量を求める問題で単位がkgにならなければどこかで間違えたと判断できる. 加速度$A₂,\ a$は単位が[m/s$²$],力$N₂,\ R$は単位が$[N}]=[kg$・$m/s$²$}]$}でなければならない. それぞれ確認してみる.\ なお,\ $sinθ,\ cosθ\ は無次元(単位なし)であり,\ 無視する.$ また,\ 異なる単位のものを足したり引いたりすることはできない. 計算結果でも計算途中でも,\ 式中に$m[kg}] F[N}]$などが出てきたならば間違えている.

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高校物理 力学
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