等差数列の和の公式 Sn=1/2n(a+l)

等差数列の和の公式も導出を理解しておくことが重要である. まず具体例として,\ 1から100までの自然数の和を求めることを考えよう. この場合,\ 次のように求めるのが簡潔である. これを文字を用いて一般化すると,\ 等差数列の和の公式を得ることができる. 初項を$a,\ 末項をl,\ 公差をd,\ 項数nの等差数列の和をS_nとする.$ 初項}$a}から末項l}\ までを逆に並べ,\ 以下のように足し合わせるわけである.$ $さらに,\ 項数nの等差数列の末項lはn番目の項のことである}から$ 結局,\ 等差数列の和の公式として以下の2つを暗記することになる. 導出を理解しておけば自分で導けるとはいえ,\ 使用頻度が極めて高いので暗記推奨である. 2つの公式は,\ {末項lと公差dのどちらが既知かで使い分ける.} 実際には末項が既知であることは少ないので,\ を使うことが多い. また,\ どちらの公式を使うにしても,\ {初項aと項数nは必須}である. 次の等差数列の和$S$を求めよ.  $等差数列\ -4,\ -1,\ 2,\ ,\ 101\ の和$  $第30項が58,\ 項差-4の等差数列の第50項から第80項までの和$ 2つの等差数列の和の公式のどちらを使うにせよ,\ {項数を求める必要がある.}\ 公差はすぐにわかる. 一般項a_n=a₁+(n-1)dを求めた後に{末項101が第何項目か}を求めると,\ それが項数である. 末項が既知なので,\ 末項を含む方の公式を用いて和を求めるのが簡潔である. \$初項をa₁とすると a_{30}=a₁+(30-1)(-4)=58}$ より $初項\ \ 公差が既知なので,\ 等差数列の和の公式を利用するためには{初項を求める必要がある.} 等差数列の和の2つの公式は,\ いずれも{初項から第n項までの和}である. よって,\ {初項からではない和を求める場合,\ 後から引いて求める}ことになる. つまり,\ {(第50項~第80項の和)=(初項~第80項の和)-(初項~第49項の和)}である. -(初項~第50項の和)としてしまうと,\ 第51項~第80項の和が求まってしまうので注意! わざわざ末項を求めるのは面倒なので,\ S_n=12n{2a+(n-1)d}\ のほうを利用する. {第50項を初項と考えて等差数列の和の公式を適用する}別解も示す. 第50項を初項とすると{第80項は第31項}となる.\ 80-50=30項ではないので注意してほしい. 50からカウントするので,\ -50によって除かれる第50項の分を+1する必要がある. 80個から49個を除くと考え,\ 直接\ 80-49=31\ と求めてもよい. 混乱した場合は,\ {小さい数字で具体的に考えてみる.} 例えば,\ 第5項~第8項の項数は\ 8-5=3\ ではなく,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\ の4個である.
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