√nの整数部分による群数列

x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す. 数列${a_n}$が$a_n= n}$で定められるとき,\ $S=a₁+a₂++a_{100}$を求めよ. の整数部分による群数列}$ 正体がわかりづらい数列は,\ 具体的に考えて規則性を見いだすことが重要である. $第k群の自然数はkである.$ $a_n=k$となるのは,\ $k nk+1}$のときである. $このとき k² n(k+1)²$ $n$は整数であるから $k² n(k+1)²-1$ つまり $k² n k²+2k}$ $よって,\ 第k群の項数は(k²+2k)-k²+1=2k+1\ 個}$ $k=9のときk²+2k=99であるから,\ a_{100}は第10群の1項目}である.$ $[l} ガウス記号[ ]のせいでわかりづらいが,\ 要は{ nの整数部分の数列}である. 具体的に考えることで,\ 第1群は1が3個,\ 第2群は2が5個,\ 第3群は3が7個であるとわかる. 各群の項数は等差数列になっていそうだが,\ この先もずっと等差であるという保証はない. {文字を用いて一般化し,\ 数式的に等差数列をなすことを確認する}ことになる. いきなり一般化するのが難しいならば,\ まずは具体的に考えてみるとよい. a_n=1となるのは1 n2,a_n=2となるのは2 n3のときである. 一般化すると,\ a_n=kとなるのは{k nk+1}のときである. つまり,\ a_n=kとなるのはk² n(k+1)²のときである. nとkが整数であることを考慮すると,\ {k² n(k+1)²-1}となる. 整数k²から整数k²+2kまでの整数の個数は(k²+2k)-k²+1である. (k²+2k)-k²だけだとk²自身も引かれてしまうので+1が必要である. 結局,\ a_n=kとなる第k群の項数が2k+1であることが示される. 群数列の基本からいえば,\ 最初に第n群の終わりまでの項数の和を求める必要がある. しかし,\ 本問の場合はa_n=kとなる第k群のnがk²からk²+2kまでであることが既知である. これは{最初から第k群の終わりまでの項数がk²+2k個}であることを意味している. 和Sを求めるには,\ a_{100}が第何群の何番目かがわかればよい. kに適当な整数を代入し,\ k²+2kが100に近い値となる付近を探る. すると,\ 第9群の終わりまでに99項あることがわかる. 第k群にはkが2k+1個あるから,\ 第k群の和はk(2k+1)である. 第9群まではk(2k+1)の和をとればよい.\ つまり,\ Σ計算である. これに第10群1項目の10を足せば答えである.
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