Σ公式を利用する基本的なΣ計算

次の和を求めよ.$ \ $n-2}k(n3)$  $Σk=0}{n}(k+1)$  $Σk=4}{n}k(n4)$  $Σ2^{k-1}$ [-.8zh] { ${基本的なΣ}計算}$ これらの問題はΣ公式と微妙に異なるので,\ 初学者が扱いに戸惑う. いずれもΣは単なる和であることさえ理解できていれば,\ 簡単に扱える. 本問は{k=1からk=n-2までの和}であるから,\ 公式の{nにn-2を代入}すればよい. なお,\ 本問でn=1とすると-1}k,\ つまりk=1からk=-1までの和となり意味不明になる. そこで,\ 通常はn1だが,\ 本問ではn3としている. Σ公式はすべてk=1からの和を公式化したものである. Σは単なる和なのであるから,\ 単純に{k=0のときだけを分割}して考えればよい. Σの性質を用いて分割すると,\ Σ公式Σk=12n(n+1),\ Σc=cnを適用できるようになる. ただし,\ 分割した式をいちいち記述する必要は全くないので,\ 解答のように記述すれば十分である. Σ公式適用後は,\ {できる限り因数分解する方向で式を整理}する. このとき,\ 括弧内が分数にならないよう,\ 分数もくくり出すこと. 本問は{k=4からk=nまでの和}である. {k=1からk=nまでの和からk=1からk=3までの和を引く}と考え,\ Σ公式を適用する. 参考書などには,\ Σr^{k-1}={r^n-1}{r-1}\ (r1)のような怪しげな公式が載っていたりする. しかし,\ 絶対にこんなものを{公式として丸暗記してはならない.} 和を書き出してみると Σr^{k-1}={r^0+r^1+r²++r^{n-2}+r^{n-1 これは,\ {初項r^0(=1),\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和}であり,\ 等比数列の和の公式で求められる. 繰り返すが,\ 本問は和を書き出して等比数列の和とみるべき問題である. 決して,\ ~のようにΣ公式を暗記してあてはめる問題ではない. 誤った学習をしていると応用が利かなくなるので注意してほしい. ところで,\ Σr^{k-1}につられてΣr^{k-1}={1(r^{n-1}-1)}{r-1}としてしまう{誤り}が多い. Σや等比数列の和の公式の正しい理解があれば,\ このような誤りは起こらない. まず,\ 等比数列の和の公式のnは項数のことである.\ つまり,\ {a(r^項数-1)}{r-1}\ である. Σならばk=1からk=nまでの和であるから項数はn個であり,\ {1(r^n-1)}{r-1}\ となるはずである. Σr^{k-1}だろうがΣr^{k-2}だろうが,\ 項数はn個である. もしn-1}r^{k-1}であったならば,\ 項数はn-1個になるから,\ {1(r^{n-1}-1)}{r-1}\ となる.$次の数列の初項から第n項までの和を求めよ.$ 与えられた数列の$第k項をa_k,\ 求める和をS_nとする 与えられた数列の$第k項をa_k,\ 求める和をS_nとする. 第k項がkの整式で表せるならば,\ 後は単純なΣ計算になる. 左側の2,\ 3,\ 4,は,\ 初項2,\ 公差1の等差数列である. 等差数列の一般項の公式\ a_n=a+(n-1)d\ より,\ 第k項は2+(k-1)1=k+1 右側の1,\ 3,\ 5は,\ 初項1,\ 公差2の等差数列なので,\ 第k項は1+(k-1)2=2k-1 a_k=(k+1)(2k-1)のΣ計算となるが,\ Σ(k+1)Σ(2k-1)と分割してはならない. (積のΣ)=(Σの積)は一般には成り立たないからである. 一方で,\ Σpa_k=pΣa_k,Σ(a_k+b_k)=Σa_k+Σb_k\ が成り立つのであった(Σの性質). よって,\ 一旦{展開}し,\ Σ(2k²+k-1)=2Σk²+Σk-Σ1\ としてΣ公式を適用する. 公式Σk²=16n(n+1)(2n+1) この過程を答案に書く必要はない.\ というより,\ 時間の無駄なので書くべきではない. Σ公式適用後は,\ 可能な限り因数分解する方向で式を整理する.} このとき,\ 最初の2つの項から\ n(n+1)\ をくくりだそうとする人が少なくない. そうすると,\ 3項目のnが中途半端に残ってしまい,\ 因数分解する意味がない. {3つの項全てに共通するnのみをくくりだして整理}するのが正解である. また,\ 括弧内が分数にならないように,\ 分数もくくり出す. 13と12であるから,\ 16をくくり出すと括弧内が分数にならずに済む. 数列分野は{容易に検算できる}ことが多い分野である. 問題から,\ S₁=21=2,S₂=21+33=11がわかる. 求まったS_nにn=1,\ 2を代入してみると,\ S₁=2,\ S₂=11となることが確認できる. 右側の3,\ 5,\ 7,は,\ 初項3,\ 公差2の等差数列なので,\ 第k項は3+(k-1)2=2k+1 公式Σk³={12n(n+1)²}は,\ 14n²(n+1)²として代入したほうが後処理がしやすい. 最後,\ S₁=13²=9,S₂=13²+25²=59と矛盾しないかを確認して完了する.
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