適当に並び替えると等差数列にも等比数列にもなる3数

3数\ p,\ q,\ pq\ (p<00,\ pq<0}\ より,\ qが等比中項であるから q²=p pq}$ ,\ qが等差中項となることはない.}$ 最悪3数の並び替えを全て考えてもよいが,\ 非常に面倒である. 問題で与えられた条件を考慮し,\ {あらかじめあり得る並びを絞り込む}ことが重要である. 本問の場合は,\ {3数の正負に着目する}.p<0,\ pq<0,\ q>0\ (負の項2個と正の項1個)である. {等比数列の構造を考慮}すると,\ 項の順序は{「負→正→負」}しかあり得ない. 正負が混在するならば公比が負であり,\ {公比が負ならば正負は交互になる}はずだからである. よって,\ 等比数列となる並びは「p\ →\ q\ →\ pq」か「pq\ →\ q\ →\ p」の2通りしかない. そして,\ 2通りのどちらであっても,\ 平均形ならば同じ条件式で表現できる. 次に,\ 正負を元に等差数列となるときにあり得る順序を考える. 等差数列は,\ 単調増加または単調減少数列である. よって,\ あり得るのは{「負→負→正」か「正→負→負」}のどちらかのパターンである. つまり,\ 「負→正→負」になることはなく,\ qが等差中項となる可能性が消える. 結局,\ pとpqが等差中項となる場合のみを考えれば済むわけである.
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