等比数列の和の公式の証明

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初項$a,\ 公比r,\ 項数n$の等比数列の和${S_n}$を求める公式を導こう. 後に学習する${(等差)(等比)型の数列の和$にもつながる発想なので,\ 導出も重要である. 結論から言えば$r-1$が分母に来るので,\ ${r=1とr1で場合分けが必要になる.$ ${r=1\ のとき  等比数列は a,\ a,\ a,\ }$ {$$}\         $.1zw}結局,\ n個のaの和}であるから$ ] ${r1\ のとき  {S_nを和の形で書き下し,\ 公比を掛けたものを1つずらして引く. r1\ のとき,\ {S-rS}\ を計算すると,\ {中央部分の項が全て消え,\ 初項と末項のみが残る.} r<1のときは\ {a(1-r^n)}{1-r},\ r>1のときは\ {a(r^n-1)}{r-1}\ を用いると-が出てこないので簡潔に済む. \等比数列3,\ 6,\ 12,\ ,\ 3072の和Sを求めよ.$ $また,\ 各項の逆数の和Tを求めよ.$ $等比数列a,\ 2ar,\ 4ar²,の初項から第n+1項までの和Sを求めよ.$ 初項$a$,\ 公比$2r$,\ 項数$n+1$}の等比数列の和である 初項と公比はすぐにわかるので,\ 後は項数がわかれば等比数列の和の公式を適用できる. 一般項a_n=ar^{n-1}を用いて末項3072が何項目かを求めると,\ それが項数である. 2^{10}=10241000くらいは常識としておきたい. 公比2>1なので,\ {a(r^n-1)}{r-1}のほうを適用する. 逆数にすると公比12<1となるので,\ {a(1-r^n)}{1-r}のほうを適用する. 公比は隣り合う項の比であるから {2ar}{a}=2r 公比に文字を含むので,\ {公比が1か否かで場合分け}する必要が生じる. }初項から第10項までの和が4,\ 第11項から第20項までの和が8である等比数列に ついて,\ 次を求めよ.\ 公比は実数とする.  初項から第30項までの和     第31項から第40項までの和 $初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和をS_nとすると S_{10}=4,S_{20}=4+8=12$ [ と矛盾} 条件を立式したいが,\ 等比数列の和の公式\ {a(r^n-1)}{r-1}\ は,\ r1のときにしか使えない. よって,\ まずr=1の可能性を探る必要がある. 試しに{r=1としてみると矛盾が生じるので,\ r1とわかる.} r=1のとき{S_n=na}\ であり,\ これと\ S_{10}=4\ から初項aが求まる. この初項aを元にS_{20}を求めてみると,\ 問題の条件から求まるS_{20}の値と矛盾する. 2つの和の条件を公式で表すと,\ 2文字a,\ rの連立方程式となるが複雑である. 2式をうまく活用して計算すると,\ a,\ rの値を求めずともS_{30}を求められる. {a(r^{20}-1)}{r-1}\ と\ {a(r^{30}-1)}{r-1}\ の分子を因数分解すると,\ 式が作り出せる. 公式\ a²-b²=(a+b)(a-b),a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)\ を用いた. 因数分解するとを利用できる.
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