Σの性質と数列の和の公式(Σ公式:Σk、Σk²、Σk³)

単なる和であることを考慮すると,\ 以下の2つの{Σ}の性質はほぼ自明である.$ ${定数pは\ Σ}\ の前に出すことができる.$ }{和(差)は分割することができる(a_k+b_kのΣはa_kのΣとb_kのΣの和).$ Σの性質とはΣの世界のルールであり,\ やってよい変形ということである. 言い換えると,\ Σを扱うときにと以外の変形をやってはいけない}ということになる. 他にやってもよい変形があるならば,\ それもΣの性質として学習するはずである. 下線部の認識が甘いために多くの学生が以下のように好き放題やり出すが,\ やめてほしい. 何故この変形ができないのかを$n=3の例で考えよう.$ ${和(差)は分割できても,\ 積(商)は分割できない.$ $例えば,\ n=2のとき,\ 以下の2つは一致しない.$ 1/2n(n+1) 1/6n(n+1)(2n+1) 変数kがなければすべての項がcとなり,\ 結局cをn個足すことになる. は{初項1,\ 末項n,\ 項数nの等差数列の和}である. 等差数列の和の公式S_n=12n(a+l)にあてはめればよく,\ 12n(1+n)=12n(n+1)となる. 使う機会が非常に多いので,\ 導き方を理解した上で公式として暗記すべきである. [3]公式[3],\ [4]は導出自体が問われうる.\ 少々準備がいるので,\ 導出法は後に学習する. 導出の理解の有無にかかわらず,\ 使う機会が多いので暗記必須である. と微妙に紛らわしく暗記が甘いとすぐに間違えるので,\ 念入りに暗記しておくこと. [4]{を2乗したもの}なので覚えやすい. 実際,\ 1³+2³=(1+2)²,\ 1³+2³+3³=(1+2+3)²\ などが成立している.
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