数列の和の公式(Σ公式 Σk²)の導出(証明)2パターン

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Σ公式の証明 数列の和の公式の導出}${階差の恒等式を利用した2通りの方法がある. いずれにしても,\ 階差の和と,\ より低次の${Σ}{$公式を利用することになる. この公式の導出自体が入試問題となりうるので,\ よく確認しておいてほしい. $Σk²\ の導出と同様の発想で,\ Σk³,\ Σk⁴,を順に求めていける.$ 出発点となる公式\ $Σk=1+2++n=12n(n+1)$\ は等差数列の和として求まる. $[{f(x)がn次式ならば,\ 階差f(x+1)-f(x)は(n-1)次式]$ 次のような{階差の恒等式}を考えると,\ 全て右辺の次数が左辺より1低くなる. (k+1)³-k³=3k²+3k+1 (k+1)⁴-k⁴=4k³+6k²+4k+1 左辺は,\ {階差の形}であることを利用し,\ 和を求めることができる. 右辺は,\ 判明済みのより低次のΣ公式を適用する. 後は,\ Σk²\ について解けばよい. {連続整数の積の階差も連続整数の積]$ }{恒等式} k(k+1)=13{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}$ $(右辺)}=13Σ{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}$ 次のような{連続整数の積に関する階差の恒等式の両辺のΣをとる.} k(k+1)=13{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)} k(k+1)(k+2)=14{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)} 右辺は,\ {階差の形}であることを利用し,\ 和を求めることができる. 左辺は,\ 展開してより低次のΣ公式を適用する.
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