階差を利用する和①:分数の数列の和(基本)

(2)の別解の最初に意味不明なk=1/nがありますが、Σ記号の誤りですm(_ _)m

次の数列の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ 次の数列の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ 階差を利用する和\ :分数の数列の和(基本)}$ ${一般項a_kを階差f(k)-f(k+1)の形に変形$できたならば,\ 次の原理で必ず和が求まる. 問題なのは,\ そもそも「一般項を階差の形にできるか」である. 当然,\ 都合良く階差の形にできる数列は限られている. つまり,\ 問題パターンも限られるので,\ パターン暗記することになる. 与えられた数列の第$k$項は 分母の左側3,\ 5,\ 7,は初項3,\ 公差2の等差数列なので,\ 第k項は\ 3+(k-1)2=2k+1 分母の右側5,\ 7,\ 9,は初項5,\ 公差2の等差数列なので,\ 第k項は\ 5+(k-1)2=2k+3 第k項を階差の形に分解する.\ 特に,\ 分数の積から分数の和(差)への変形を{部分分数分解}という. 一般にはこの変形はやや面倒だが,\ 数列分野に限っては次の関係を公式として使うと速い. 1}{AB}={1}{B-A}(1A-1B)} {k=1~nの和を書き出すと中央部分の項がすべて消え,\ 初項と末項のみが残る}ので,\ 通分する. 普通に部分分数分解したいならば,\ 以下のような方法をとる. {1}{(2k+1)(2k+3)}={a}{2k+1}-{b}{2k+3}\ とおく. 通分すると{1}{(2k+1)(2k+3)}={a(2k+3)-b(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)} 分子は1=a(2k+3)-b(2k+1)(恒等式なのでkに何を代入しても成り立つ必要がある) k=-12とするとa=12,k=-32とするとb=12 (a,\ bが簡単に求まるkの値を代入) Σで表されているだけで,\ 書き出してみると本質的にと同じ問題であるとわかる. と同様に計算していけばよいが,\ こちらは{中央部分が全て消えない}ことに注意する. どの項とどの項が対応して消えるのかを注意深く確認しながら考えること. 結果的に最初と最後の2項ずつ残るので,\ {k=n-1のときも書き出しておく}必要がある. 別解のように考えた方がわかりやすいかもしれない. 分母が3つの因数の積の場合,\ 解答のように分割できると覚えておく必要がある. 関係式\ 1}{ABC}={1}{C-A}({1}{AB}-{1}{BC})}\ を公式として使うと速い
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