連続する自然数の和で表せる自然数

50を2個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ. $2^k\ (k:自然数)$は2個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ. 続する自然数の和で表せる自然数}$ $m$から始まる$n$個の連続する自然数の和は [ { }$(2m+n-1)-n=2m-1>0より,\ 2m+n-1>n2}である.$ { }また,\ 差$2m-1$は奇数であるから,\ $n$と$2m+n-1$の偶奇は異なる.} { }$2m+n-1>n$で$n$と$2m+n-1$の偶奇は異なるから$(n,\ 2m+n-1)=(1,\ 2^{k+1})$ { }これは,\ $n2$に矛盾する.} ${2^kは2個以上の連続する自然数の和で表せない. 本問の自然数の和は,\ どこからの和かも何個の和かも不明である. 仕方ないので,\ どちらも文字で設定して条件を立式する. {初項m,\ 公差1,\ 項数nの等差数列の和}となるから,\ S=12n{2a+(n-1)d}\ を適用できる. 結局,\ n(2m+n-1)=100を満たす自然数(m,\ n)を求めることに帰着する. ここまで来れば,\ 後は数列ではなく整数の{不定方程式}の問題である. 文字2つに対して式が1つしかないが,\ mとnが整数という条件があるので特定できる. 掛けて100となる整数の組を考えればよいが,\ {最初に可能性を絞り込んでおく}と後が楽になる. {各因数の範囲および因数の差を調べてみることで絞り込める}可能性があるのであった. 題意より,\ n2である.\ また,\ m1より,\ (因数の差)=2m-1>0である. こうして,\ nと2m+n-1の大小関係がわかる. さらに,\ 2m-1は奇数を表すから,\ nと2m+n-1の一方は偶数,\ 他方は奇数である. 掛けて2²5²となる組み合わせの中で,\ 2m+n-1>n2を満たし,\ 偶奇が異なる組を探す. 両方偶数になってしまうので,\ 2個の2を分けるわけにはいかない. 結局,\ 2個の5を分けるか分けないかで2組存在することがわかる. と同様に考えていくと,\ 条件を満たす自然数(m,\ n)の組が存在しないことがわかる.
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