奇数項と偶数項で規則性が異なる数列の和

奇数項と偶数項で規則性が異なる数列の和}$ Σの正体がわかりにくので,\ 和の形で書き出してみる奇数項と偶数項を1つの項とみなした数列${a_n$を新たに考える. ここで1つ問題が生じる. $nが偶数の場合,\ 例えばn=4ならば,\ S₄=a₁+a₂\ となり,\ キリがよい.$ しかし,\ $nが奇数,\ 例えばn=3の場合,\ S₃=a₁+3²}\ のようにキリが悪い.$ 結局,\ ${n}$が偶数のときと奇数のときで場合を分けることになる. のように分割することはできない. {和の形で書き出す}と,\ 奇数項と偶数項にそれぞれ規則性が見つかる. まず,\ 奇数項と偶数項を1つにまとめた数列a_n}の一般項を求める. 問題の数列の一般項がkで表されているので,\ a_n}の一般項はiで表すことにする. これを元に計算すると,\ a_n}の第i項が-4i+1と求まる. {先にキリがよい偶数の場合から求める.} S_nの第2m項までの和であるから,\ {a_iの第m項までの和}をとることになる. Σ計算するとmの式になるので,\ {n=2mの関係を用いてこれをnの式に戻す.} {nが奇数の場合,\ n=2m-1\ とおく.} このとき,\ m=1,\ 2,\ 3,にn=1,\ 3,\ 5,が対応し,\ 統一性ができる. もし\ n=2m+1\ とおくと,\ m=1,\ 2,\ 3,に\ n=3,\ 5,\ 7,が対応する. これでは統一性がなくなり,\ n=1のときの処理が面倒である. 次に,\ {偶数のときのS_n(=S_{2m})を利用して,\ 奇数の場合の和を求める.} つまり,\ S₃=S₄-(第4項),S₅=S_6-(第6項)\ と考えて求める. 一般化すると,\ {S_{2m-1}=S_{2m}-(第2m項)}\ である. 元の数列の一般項\ (-1)^{k+1}k²\ より (第2m項)=(-1)^{2m+1}(2m)²=-4m² 整理した後,\ {n=2m-1の関係を用いてnの式に戻す.} 最後,\ 奇数の場合と偶数の場合に分けてそのまま答えておいてもよい. 本問に限っては,\ うまく1つの式にまとめることができる. {奇数項と偶数項をそれぞれ別々にまとめて計算する}こともできる.
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