階差を利用する和④:連続整数の積の和 Σk(k+1)(k+2)

kが整数のとき,\ k(k+1)(k+2)\ などは連続する整数の積を表す.$ 例えば,\ $k=1\ のとき,k(k+1)(k+2)=123である.$ 一般に,\ 連続整数の積は以下のような階差の形に変形できる. 階差の形にできるということは,\ 和を求めることができるということである. $\arraycolsep=1mmlcl} k}&=&12{k(k+1)-(k-1)k k(k+1)}&=&13{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1) k(k+1)(k+2)}&=&14{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2) $さて,\ 階差を利用して,\ Σk\ を求めてみよう.$ これは{Σ公式の別証明}に他ならない.\ 他のΣ公式の証明は次の項で取り扱う. }]$ 同様に計算することで,\ 連続整数の積の和が以下のようになることがわかる. 今一つ規則性が感じられなかったΣ公式だが,\ すぐそばに真に美しい規則性が潜んでいたのである.
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