群数列の究極の2パターン

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奇数列を\ 1\ |\ 3,5\ |\ 7,9,11\ |\ 13,\ のような群に分ける.$  $第20群の10番目の項を求めよ.$  $819は第何群の何番目の数か.$  $第n群に含まれる数の総和Sを求めよ.$ 群数列に苦手意識をもつ学生は多い. しかし,\ 一旦構造を理解して対処法を学べば,\ 群数列など全く恐るるに足らない. 群数列は,\ 究極的には次の2つのいずれかに帰着する. 「第何群の何番目か}」から,\ 「最初から何番目か}」を求める. 「最初から何番目か}」から,\ 「第何群の何番目か}」を求める.} もう一度言おう.\ 群数列の問題は,\ 結局はこの2つのうちのいずれかでしかない. よって,\ 群数列の問題が解けるか否かは,\ この2つを自在に行えるかで決まる. 実は,\ 一番最初にたった1つの計算をしておくだけで,\ いずれも可能になる. 「各群の項数の数列}」を調べ,\ 「第${n}$群の終わりまでの項数の和}」を求めておく.} 後は実際の問題で確認してほしい. 各群の項数は,\ $1個,\ 2個,\ 3個,である.$ 第1群から第$n$群の終わりまでにある項数}は 本問は,\ {規則正しい数列を無理矢理群に分けた群数列}なので,\ 元の数列の規則性が重要になる. 初項1,\ 公差2の等差数列であるから,\ 第k項は 1+(k-1)2=2k-1 後は,\ {「第20群の10番目}」が「最初から何番目か}」}がわかれば求まる. ここで,\ 一番最初に求めておいた第n群の終わりまでの項数の和を利用できるのである. { }よって,\ $819は「最初から410番目の数}」である.$ { }ここで,\ $第1群から第28群の終わりまでにある項数は$ { }また,\ $第1群から第29群の終わりまでにある項数は$ 819が{「最初から何番目か}」}は,\ で求めたa_k=2k-1を利用すると簡単に求まる. これが{「第何群の何番目}」}を求めればよい. このとき,\ 一番最初に求めておいた第n群の終わりまでの項数の和\ 12n(n+1)\ を再び利用できる. ただし,\ 12n(n+1)=410\ を解こうとしても,\ 大概は計算や後処理が面倒になる. そこで,\ nが整数であることを利用するとよい. つまり,\ {nに整数を適当に代入}し,\ 410になる付近を探索する. n²+2n=820\ より,\ おおよそ\ n²=800\ となればよい. よって,\ n=30,\ あるいはそれより少し小さい数を代入していく. \ 第1群から第28群の終わりまでに406個,\ 第29群の終わりまでに435個の項があるとわかる. よって,\ 最初から410番目は,\ 第29群の410-406=4番目である. 等差数列の和の公式S=12n{2a+(n-1)d}を使うためには,\ 初項・公差・項数が必要である. 公差は自明,\ 第n群の項数がn個であることもすぐにわかる. 問題は初項である.\ まず,\ {「第n群の初項}」が「最初から何番目か}」}を求める. これは,\ {(第n群の1番目)=(第n-1群の終わりまでの項数)+1}\ として求まる. 第n-1群を考えるとき,\ n-11,\ つまり\ {n2}\ として考えなければならない. 第n群までの項数\ 12n(n+1)\ より,\ 第n-1群までの項数は\ 12(n-1)n\ である. 最初から何番目かが求まれば,\ a_k=2k-1\ に代入して,\ 第n群の初項が求まる. {試しにn=1を代入}してみると,\ 実際の第1群の初項と一致する. 結局,\ n=1のときもまとめて考えてよく,\ 後は等差数列の和の公式を適用する. 既約分数の数列$\ 12,\ 14,\ 34,\ 18,\ 38,\ 58,\ 78,\ {1}{16},がある.$  ${57}{512}\ は最初から何番目の項か.$  $最初から1000番目の項は何か.$  $初項から第1000項までの和Sを求めよ.$          $[岩手大・改]$ 本問は,\ {群の中で規則性がある型}である.\ この場合,\ {自分で群に区切る}ことになる. また,\ 項数の和は等比数列の和であるから,\ 公式S={a(r^n-1)}{r-1}\ によって求められる. まず,\ {57}{512}\ が{「第何群の何番目か}」}を求めることができる. 分母の規則から第9群であることが,\ 分子の規則から29番目であることがわかる. これが{「最初から何番目か}」}を求めればよい. $第1群から第9群の終わりまでにある項数は { }また,\ $第1群から第10群の終わりまでにある項数は$ 本問は群の中に規則性があるので,\ {「最初から1000番目}」が「第何群の何番目か}」を考える.} 第n群までの項数\ 2^n-1\ を再び利用する. nは整数なので,\ {適当に代入して1000番目になる付近を探索する.} 2の累乗の値を暗記していると容易である. 特に,\ 2^{10}=10241000\ は利用できる機会が多いので覚えておきたい. 後は,\ 群の中の規則から項の値を求めればよい. $第n群は,\ 分母2^n,\ 分子が初項1,\ 公差2の等差数列,\ 項数2^{n-1である.$ { }$第n群に含まれる分数の和は$ まず,\ {第n群に含まれる分数の和}を求める. 分母分子は判明済み,\ 項数は\ 1,\ 2,\ 4より,\ 2^{n-1}\ である. 通分できるから,\ 結局は分子の和を考えればよい. 公式を用いて,\ {初項1,\ 公差2,\ 項数2^{n-1}の等差数列の和}を求める. で第1000項が第10群の489番目であることは判明している. 第n群の和が2^{n-2}であるから,\ 第9群まではこの和をとれば一気に求まる. 等比数列の和なので,\ 公式を用いて求められる. 第10群は途中までであるから,\ 2^{n-2}は使えず,\ 別個に求める. 公式を用いて,\ {初項1,\ 公差2,\ 項数489の等差数列の和}を求めればよい.
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