2つの等差数列の共通項の数列の一般項

一般項が\ a_n=3n-2,\ b_n=4n-1\ である2つの等差数列a_n},\ b_n}の共通項を$ $小さい方から順に並べてできる数列c_n}の一般項を求めよ.$ 2つの等差数列の共通項}$ 2つの解法を示す.\ わかりやすいのはだが,\ 重要なのはである. $$${項を書き出し,\ 初項を探す.$ {  }公差は,\ ${a_n},\ b_n}の数列の公差の最小公倍数$となる. $$${a_n}の第l項とb_n}の第m項が一致するl,\ mの条件を求める.$ {  }${ax+by=c\ 型の不定方程式(整数問題)に帰着する. よって,\ c_n}は初項7,\ 公差12の等差数列}である. 一方の間隔(公差)が3,\ 他方の間隔が4ならば,\ 最小公倍数12の間隔で共通項が現れるはずである. 後は,\ 実際に項を書き出して共通項の初項を見つけさえすればよい. これ以上なくわかりやすいが,\ 厳密さに欠けるために推奨できない. また,\ 簡単に初項が見つからない場合は厄介なことになる. 文字で一般化して求めているので,\ c_n}の一般項が厳密に求まる. {ax+by=c型(a,\ bは互いに素})の不定方程式}の解法(数\text A)を簡単に復習する. まず,\ 何とかして整数解を1組探し出す.\ 本問では,\ {(l,\ m)=(-1,\ -1)}\ がある. 元の方程式から探し出した整数解を代入したものを引き,\ 一方を移項する. こうして,\ {aX=bY型(a,\ bは互いに素})の不定方程式}に帰着する. a,\ bは互いに素なので,\ 等号が成立するには,\ Xがbの倍数でなければならない. よって,\ 整数kを用いて,\ X=bkと表せる.\ このとき,\ Y=ak\ となる. l,\ mが整数kの式で表され,\ a_{4k-1}=b_{3k-1}\ が成立することがわかる. このときの共通項は,\ a_{4k-1}\ か\ b_{3k-1}\ のどちらかを求めればよい. 結局,\ a₃=b₂\ (k=1),a_7=b₅\ (k=2)\ となっていくことがわかったわけである. 最後,\ kをnに置換すると,\ c_n}の一般項となる. このとき,\ {単純にkとnを置換できるわけではなく,\ 互いの対応を確認する}必要がある. {c_n}のnが1から始まるようにしなければならない}からである. l,\ mは自然数であるから,\ 整数kはl=4k-11,\ m=3k-11を満たす必要がある. つまり,\ k12,\ k23\ より,\ k1のとき条件を満たす. この場合のkは1から始まるといえるわけである. であり,\ c_n}のnとkが一致している. よって,\ この場合はnとkを単純に置換してもよいことがわかる. nとkの対応がどうなるかは,\ 不定方程式を解くときに用いた整数解の組に依存する. 例えば,\ (l,\ m)=(3,\ 2)\ を用いると,\ l=4k+3,\ m=3k+2\ として求まる. このとき,\ a_{4k+3}=3(4k+3)-2=12k+7\ より,\ 単純にk=nとすると間違える. 4k+31,\ 3k+21\ より,\ k0\ のとき条件を満たす. よって,\ この場合のkは0から始まることになる. であり,\ {c_n}のnとkが一致しない. 結局,\ この場合のc_n}のnとkの対応は\ {k=n-1\ であるとわかる. ゆえに,\ 12k+7=12(n-1)+7=12n-5\ としなければ正解が得られないのである.
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