応用的なΣ計算(第k項にnを含む数列の和、和の和)

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(1)においてSn=Σ(-k²+nk)となっていますが、Sn=Σ{-k²+(n+1)k} の誤りです m(_ _)m

次の数列の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ 左側の1,\ 2,\ 3,の第k項はkであることはすぐにわかる. 右側のn,\ n-1,\ n-2,は,\ 初項n,\ 公差-1の等差数列である. 等差数列の一般項の公式a_n=a+(n-1)dより,\ 第k項はa_k=n+(k-1)(-1)=n-k+1 n-0,\ n-1,\ n-2,とみなし,\ n-(k-1)=n-k+1と考えてもよい. Σk(n-k+1)を計算することになるが,\ {kは変数,\ nは定数}であることに注意する. よって,\ {変数kで整理}すると,\ {定数nは単なる係数なのでΣの前に出せる}. 後は,\ Σ公式を適用し,\ 因数分解する方向で式を整理する. 本問も検算が容易な問題である. 問題から, n=1のときS₁=1 n=11=1とわかる. また,n=2のときS₂=1 n+2(n-1)=12+2(2-1)=4とわかる. 求まったS_nにn=1,\ 2を代入すると,\ 確かにS₁=1,\ S₂=4となる. 和S_nを求めるわけだが,\ {一般項a_k自体が等差数列の和}である. よって,\ 和の和S_n=1+(1+5)+(1+5+9)+\ を求めることになる. 難しく考える必要はなく,\ まずは一般項a_kをkの式で表す. a_kは,\ {初項1,\ 公差4,\ 項数kの等差数列の和}である. 初項と公差はすぐわかるが,\ 項数がkであることに注意してほしい. 第1項は1個だけ,\ 第2項は2個の和,\ 第3項は3個の和なので,\ 第k項はk個の和である. 初項a,\ 公差d,\ 項数nの等差数列の和の公式\ 12n{2a+(n-1)d}を適用すると,\ a_kが求まる. 後は基本的なΣ計算である. a_kが{初項1,\ 公比2,\ 項数kの等比数列の和}になっただけで,\ 実質と同じ問題である. 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和の公式\ {a(r^n-1)}{r-1}\ を適用すると,\ a_kが求まる. Σ1=n,Σ2^kは和の形で書き出して考える. Σ2^k=2^1+2²++2^n\ より,\ {初項2,\ 公比2,\ 項数nの等比数列の和}である. もう一度等比数列の和の公式を用いて計算すればよい. $与えられた数列の第k項をa_kとする.$ 2乗の和はΣ計算しなければ求められないので,\ a_kを求めるためにまずΣ計算する. 第k項は1²+2²+3²++k²\ であるから,\ Σ}{k}とする必要がある. つまり,\ 変数には別の文字を使う必要がある.\ 何でもよいが,\ iを用いるのが普通である. こうしてa_kが求まれば,\ 後は普通のΣ計算である.
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