空間座標の格子点の個数(整数解の組数)

nを自然数とする.\ x+y+z n,\ x0,\ y0,\ z0を満たす整数解の組数を求めよ.$ 座標空間の格子点の個数(整数解の組数) 整数解の組数は,\ 図形的にとらえると格子点の個数である. 本問はx,\ y,\ zの3変数なので,\ 座標空間における格子点の個数を数えることになる. 座標平面の格子点の個数は,\ 直線上の格子点の個数をΣ計算して求められた. 座標空間の格子点の個数は,\ {平面上の格子点の個数をΣ計算する}ことで求められる. これは,\ 平面上の面積を積分すると体積が求まるのと同様である. まず,\ 不等式が表す立体を{平面z=kで切断したときの断面にある格子点を数える.} このとき,\ 不等式が表す立体の形をイメージできる必要はない(もちろんできた方がよい). {断面の形ならば数式だけでわかる}からである. z=kのとき,\ 問題の不等式はy -x+n-k,\ x0,\ y0となる. n,\ kは単なる定数であるから,\ 直角を挟む2辺の長さがn-kの直角二等辺三角形を表す(左図). この領域内にある格子点の個数を数えればよい.\ {対称性を利用して図形的に求める}のが簡潔である. つまり,\ 一旦長方形を持ち出せばよいが,\ 単純に半分ではないことに注意する. (z=k上の格子点)=(赤)+(緑)={(長方形)-(緑)}{2}+(緑) 長方形の1辺にある格子点の個数はn-k+1個である. 対角線上の格子点の個数もn-k+1個である. 展開せず,\ 因数分解する方向で整理するとよい. 本問の不等式が表す立体は,\ 以下の知識があると瞬時にイメージできる. 一般に,\ 座標空間で\ xa+ yb+ zc=1は3点(a,\ 0,\ 0),\ (0,\ b,\ 0),\ (0,\ 0,\ c)を通る平面を表す. 実際,\ 3点を代入すると成り立つ.\ そして,\ 3点が定まると平面はただ1つに定まる. ちなみに,\ 座標平面において,\ xa+ yb=1は2点(a,\ 0),\ (0,\ b)を通る直線を表す. 与式は\ xn+ yn+ zn=1と変形でき,\ これは(n,\ 0,\ 0),\ (0,\ n,\ 0),\ (0,\ 0,\ n)を通る平面である. x0,\ y0,\ z0と合わせて右図の立体を表すことがわかる. 平面z=k上の格子点の個数が求まれば,\ 後はz=0からz=nまでのΣ計算である. (求める格子点)=(平面z=0上の点)+(平面z=1上の点)++(平面z=n上の点) このΣ計算はまともにやるとやや面倒である(別解1). nは定数扱いなので,\ kで整理してΣ公式を適用する. ただし,\ Σ公式はk=1からでなければ適用できないから,\ {k=0のときを分割}する必要がある. かなり技巧的だが,\ 本解のように求めるのが簡潔である.\ まず,\ Σを次のように変換できる. この後n+1}(k²+k)としてΣ公式を適用してもよいが,\ さらにスマートな方法がある. {連続整数の積の和が階差の形に変形できる}ことを利用するのである. 一般に,\ k(k+1)=13{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}\ 等が成立した. そして,\ 一般項を階差の形で表すことができれば,\ 以下のようにして和を求められるのであった. k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\ 実は,\ x,\ y,\ zが対等な本問は,\ 場合の数の問題として解くのが最も簡潔である(別解2). 4つめの文字wを用いて等式に変換する非常に巧妙な手法である. 詳細は場合の数分野で説明したので,\ ここでは概要を掲載するに留める.
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