等差数列を利用する倍数の和

100から200までの整数のうち,\ 3の倍数または4の倍数の和を求めよ.$ {倍数の和}$ 倍数は等間隔で存在するから,\ 結局は等差数列の和である. 3の倍数の和をS_{,\ 4の倍数の和をS_{,\ 12の倍数の和をS_{(12)\ とする.$ (3の倍数または4の倍数)=(3の倍数)+(4の倍数)\ とするのは{誤り}である. (3の倍数かつ4の倍数)の分が重複するので,\ その分を引く必要がある. なお,\ {(3の倍数かつ4の倍数)はその最小公倍数12の倍数}である. 結局,\ {(3の倍数または4の倍数)=(3の倍数)+(4の倍数)-(12の倍数)}\ とすることになる. ベン図で視覚的にとらえるとわかりやすいだろう. 後は,\ 各倍数ごとに初項aと末項lと項数nを求め,\ 公式S=12n(a+l)で和を求めればよい. 1003=331より,\ 100までに3の倍数は33個あるとわかる. 逆に言えば,\ 100より大きい3の倍数は34個目からである.\ 334=102であり,\ これが初項となる. 2003=662から200までに3の倍数は66個あるとわかり,\ 366=198が末項となる. 3の倍数の個数を考えるとき,\ 66-34=32\ としてはいけない. 34個目から66個目までが何個かを数えるわけだが,\ -34とすると34個目も除外される. よって,\ +1が必要になる.\ 33個目までを引くと考え,\ 直接66-33=33\ と求めてもよい. 混乱したときは,\ {小さい数字で具体的に考える}とよい. 例えば,\ 3個目から7個目は7-3=4個ではない.\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7の5個である.
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