数列の基本事項 数列の項 数列の各数を項といい,\ ${a₁,\ a₂,\ a₃,\ ,\ a_n,\ $または$a_n}$と表す. $a₁$を第1項(初項),\ $a₂$を第2項,\ $a_n$を第$n$項という. 第$n$項が$n$の式で表されるとき,\ この項を一般項という. $a_n=3n-2$ 項の個数が有限個の数列を有限数列といい,\ この最後の項を末項,\ 項の総数を項数という. 有限数列\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10 初項2,\ 末項10,\ 項数5 項の個数が無限個の数列を無限数列という. 等差数列 隣り合う項の{差}が{等}しい数列.\ この差を公差といい,\ 普通$d$で表す. ${n番目の項a_n$は,\ ${初項a₁に公差dをn-1個分足したもの$であるから 導出を理解しておけば,\ 公式を忘れたので求められないということはありえない. そもそも,\ 等差数列の公式は覚える必要すらない. 数列分野は,\ 公式の導出や式の意味を理解することが他分野以上に重要である. 公式を丸暗記して当てはめるなどといった間違った学習をしないようにしてほしい. この後に学習する等比数列や階差数列でも同じ要領で公式を作成できる. 等差数列52,\ 49,\ 46,\ 43,\ $$\ の一般項を求めよ. $a₂=5,\ a₅=11$である等差数列${a_n}$について,\ 次を求めよ. (ア)一般項 (イ)89は第何項か. (ウ)$a_n$が初めて500を超える最小の自然数$n$ 一般項が$a_n=3n-2,b_n=5n+3$である数列${a_n},\ {b_n}$に対し,\ $c_n=a_{3n}-b_{2n}$ で表される数列${c_n}$が等差数列であることを示し,\ 初項と公差を求めよ. {最小の自然数はn=250}$ { }よって,\ ${数列{c_n}は等差数列である.}$ 数列分野は{容易に検算ができる}ことが多い分野なので,\ 常に検算する癖をつけておきたい. a_n=-3n+55が求まった後,\ n=1,\ 2を代入してa₁=52,\ a₂=49となるかを確認する. 計算ミスなどによる失点が激減するはずである. 初項と公差を文字でおいて条件を立式すればよい. a_n=2n+1が求まった後,\ a₂=5,\ a₅=11となるかを確認すること. ところで,\ 公式はa_n=a₁+(n-1)d=dn+a₁-dと変形できる. y=dx+a₁-dと考えると直線の方程式であり,\ 公差dは傾きである. 等差数列は,\ 図形的には直線からx=(整数)の点を抜き出したものといえる. a₂=5は点(2,\ 5),\ a₅=11は点(5,\ 11)を意味する. よって,\ この2点を通る直線として一般項を求めることもできる. 2点(x₁,\ y₁),\ (x₂,\ y₂)を通る直線の式は 等差数列であることを示すには,\ {隣り合う項の差が一定}であることを示せばよい. つまり,\ c₂-c₁=c₃-c₂=c₄-c₃=\ を示す. といっても,\ c₂-c₁から1つずつ確認していたのではキリがない. そこで,\ nで一般化した{c_{n+1}-c_n=(定数)}を示すことになる. c_{n+1}は,\ c_nのnをn+1で置き換えたものである. a_{3n}のnをn+1で置き換えるとa_{3(n+1)}となる.\ b_{2n}についても同様である. a_{3n+3}の一般項はa_n=3n-2のnを3n+3で置き換えたものなので a_{3n+3}=3(3n+3)-2 こうして計算していくと変数nが消え,\ 差が定数であることが示される. 同時に,\ 公差が求まったことになる. c_n=a_{3n}-b_{2n}より,\ 初項はc₁=a_{31}-b_{21}=c₃-b₂である.
