$等比数列をなす3数があり,\ その和が24,\ 積が-4096である.\ この3数を求めよ.$ 等比数列をなす3数（等比中項）}$ 3通りの表現が可能なので,\ 適切な表現を用いて求める. 公比形}初項a,\ 公比r})$ {対称形}中央の項a,\ 公比r})$ 平均形}{b²=ac}a,\ b,\ cがこの順で等比数列})$ [3]}の平均形は,\ 応用上最も重要な関係である.\ 導出も理解しておくこと. 3数a,\ b,\ cがこの順で等比数列をなすとき { ba= cb}(比が等しい) よってb²=ac なお,\ 等比数列をなす3数の中央の項を{等比中項}という. }{3数の中央の項を}$,\ 公比をr}とする.$ 本問は,\ 対称形で設定すると2式目のrが消えるので簡潔に済む 本問は「3数を求めよ」なので,\ 順序は関係なく単に3つの数を答ればよい. 問題に「a,\ b,\ cがこの順で等比数列」などとあれば,\ 次の2通りの場合を答える必要がある. (a,\ b,\ c)=(8,\ -16,\ 32),\ (32,\ -16,\ 8) 平均形を用いると,\ {3文字の連立方程式}となる. 本問の連立方程式では,\ とからaとcを両方消去でき,\ すぐにbが求まる. 後はaとcの連立方程式だが,\ {和と積が既知の連立方程式は対称性を生かして解く}のが聡明である. t=a,\ c\ を解にもつ2次方程式の1つは\ (t-a)(t-c)=0 展開すると\ t²-(a+c)t+ac=0 このことを逆に利用してa,\ cを求めるわけである. この方法が難しいならば,\ 普通にc=40-aをac=256に代入して1文字消去すればよい. }異なる3つの数$6,\ x,\ 2x-6$がある順序で等比数列になっている.\ このとき,\ $x$の値を求めよ. [関西大] $6,\ x,\ 2x-6$は異なる3数であるから 6が等比中項}となるとき \ 6,\ x,\ 2x-6は異なる3数なので x6\ かつ\ x2x-6\ かつ\ 2x-66 3数6,\ x,\ 2x-6の並びは3!=6通りある. しかし,\ b²=acはaとcが対等なので,\ 等比中項bが何かで場合分けすると3通りで済む. x=-3のときの3数は-3,\ 6,\ -12,\ x=32のときの3数は32,\ -3,\ 6である.
