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仕事$\bm{W}$\ [J]}} \\[.5zh] \centerline{{\large \dilutecolor{green}{.1}{dg}\colorbox{dg}{\begin{tabular}{l}
物体に一定の力$F$\ [N]を加えてその力の向きに物体が距離$x$\ [m] \\[.2zh] 動いたとき,\ $\bm{\textcolor{red}{W=Fx}}$を\textbf{\textcolor{blue}{この力が物体にした仕事}}という.
\end{tabular}}}} \\\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{仕事の原理}} \\[.5zh] \textbf{\textcolor{cyan}{道具を用いたときの仕事と,\ 道具を用いないときの仕事の量は変わらない.}} \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{仕事率$\bm{P}$\ $\bm{[\textbf{W}]=[\textbf{J/s}]}$}} \\[.5zh] \textbf{\textcolor{red}{単位時間(1秒)当たりの仕事}}. \\[.2zh] 時間$t$\ [s]で仕事$W$\ [J]をするときの仕事率$P$\ [W]は  {\large \dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{$\bm{\textcolor{red}{P=\bunsuu Wt}}$}} \\\\[1zh] \textbf{\textcolor{blue}{仕事率$\bm{P}$と速さ$\bm{v}$の関係}} \\[.5zh] 力の向きの速さを$v$\ [m/s]とすると  {\large \dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{$\bm{\textcolor{red}{P}}=\bunsuu Wt=\bunsuu{Fx}{t}=F\cdot\bunsuu xt=\bm{\textcolor{red}{Fv}}$}} \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
仕事(\text{work})は普通W(単位ジュール\text{J})で表す. \\[.2zh] 仕事率P(\text{power})の単位[\text{W}]\,(ワット)と混同しないように注意する. \\[1zh] さて,\ 盲点となるのは\ \bm{\textcolor{blue}{(仕事率)=(力)\times(速さ)}}\ である. \\[.2zh] 物理で仕事率が問われた場合に3つの方法をすぐに思い浮かぶようにしておこう. \\[.2zh] [1]\ \ 仕事を時間(秒)で割る.\ つまり,\ P=\bunsuu Wt\ で求める. \\[.5zh] [2]\ \ 力と速さを掛ける.\ つまり,\ P=Fv\ で求める. \\[.4zh] [3]\ \ 電流と電圧を掛ける(電磁気学).\ つまり,\ P=IV\ で求める.
あらい水平な床の上にある重さ10\,Nの物体に,\ 水平から30$\Deg$上向きに6.0\,Nの力を加 \\[.2zh] \hspace{.5zw}えながら床に沿ってゆっくりと3.0\,m動かした.\ このとき,\ 次の力が物体に加えた仕事 \\[.2zh] \hspace{.5zw}を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 重力   (2)\ \ 垂直抗力   (3)\ \ 人が加えた力   (4)\ \ 摩擦力 \\
W=Fxは力Fの向きにx動いたときの仕事だが,\ 常に力の向きと移動方向が同じとは限らない. \\[.2zh] 向きが異なる場合,\ \bm{力を分解して向きをそろえてから掛ける}ことになる. \\[.2zh] 力の向きと移動方向が角\,\theta\,をなす場合,\ 力の物体の移動方向の成分はF\cos\theta\ である. \\[.2zh] 以上から,\ 公式\ \bm{\textcolor{blue}{W=Fx\cos\theta}}\ が導かれる. \\[.2zh] 仕事は,\ 数学的にはベクトルの内積なのである. W=\bekutoru*F\cdot\bekutoru*x=Fx\cos\theta \\[1zh] (1)\ \ 公式\ W=Fx\cos\theta\ に従って求めると解答のようになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし\cos90\Deg=0より,\ \bm{\textcolor{blue}{力の向きと移動方向が直角をなす場合,\ その力は仕事をしない}}. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 直角を成す場合は立式せずとも0\ [\text{J}]\ としてよい. \\[1zh] (2)\ \ (1)と同様,\ 直角をなすから立式せずとも0\ [\text{J}]\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ あえて立式するならば,\ 力のつりあいより垂直抗力が7.0\ \text{N}であることに注意する. \\[1zh] (3)\ \ \bm{力の向きと進行方向が30\Deg\,をなす}ことに注意して公式を適用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 6.0\,\text{N}の移動方向の成分3\ruizyoukon3\,\text{N}と移動距離3.0\,\text{m}を掛けると考えてもよい. \\[1zh] (4)\ \ \bm{「ゆっくりと動かした」=「等速で動かした(加速なし)」=「力はつりあっている」}を意味する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 納得しづらい部分もあるが,\ 初速をもっていたと考えて納得しよう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 水平方向の力のつりあいより,\ 摩擦力は3\ruizyoukon3\,\text{N}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{摩擦力と進行方向が180\Deg\,をなす}ことに注意して公式を適用する.
重さ12\,Nの物体を5.0\,mの高さにゆっくりと引き上げる. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 鉛直に引き上げるのに必要な仕事$W_1$を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 傾斜角$30\Deg$のなめらかな斜面に沿って引き上げるのに必要な仕事$W_2$を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ (2)において20秒の時間を要した.\ 仕事率$P$を求めよ. \\
(1)\ \ ゆっくりと(等速で)引き上げるとき,\ 物体にはたらく力はつりあっている. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 重力に逆らって引き上げるのに12\,\text{N}の力を要する. \\[1zh] (2)\ \ 重力の斜面方向の成分は12\times\sin30\Deg=6.0\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ これに逆らって引き上げるのに6.0\,\text{N}の力を要する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 高さが5.0\,\text{m}のとき,\ 斜面の距離は10\,\text{m}である(1:2:\ruizyoukon3\ の直角三角形). \\[1zh] (3)\ \ (2)で求めた仕事を時間で割ればよい.\ 練習のため,\ 速さを利用した別解も示しておく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 斜面距離10\,\text{m}を20秒かけて等速で引き上げるとき,\ その速さは0.50\,\text{m/s}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (力6.0)\times (速さ0.50)で仕事率を求められる.
力の大きさ$F$\,[N]と自然長からの伸び$x$\,[m]の関係が下図にようになるばねがある. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ このばねを自然長から0.10\,\text{m}伸ばすのに必要な仕事$W_1$を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ このばねの伸びを0.20\,\text{m}から0.30\,\text{m}にするのに必要な仕事$W_2$を求めよ.
仕事がW=Fxで求められるのは,\ あくまでも\bm{力Fが常に一定である場合}に限られる. \\[.2zh] しかし,\ ばねを伸び縮みさせるのに必要な力Fは,\ xに比例して大きくなる. \\[.2zh] この場合はW=Fxで求めることはできない. \\[1zh] 力Fがする仕事は,\ より根本的には\bm{\textcolor{blue}{F\,\textbf{-}\,x図における面積}}である. \\[.2zh] 力Fが一定であるとき面積は長方形となり,\ W=Fx=20\times0.20=4.0\,\text{J}と求められる(左図). \\[1zh] \bm{\textcolor{blue}{力Fが一定でない場合,\ 仕事WはF\,\textbf{-}\,x図の面積として求める}}しかない. \\[.2zh] 結局,\ 本問では右図の三角形と台形の面積を求めることになる. \\[1zh] ばねの仕事に限った話ならば,\ \bm{ばねの弾性エネルギー}を利用して求めることもできる. \\[.2zh] ここでは要点のみ別解として示しておく.\ ばねの弾性エネルギーは\ \bunsuu12kx^2\ である. \\[.5zh] F=kxより,\ F\,\text{-}\,x図における直線の傾きがばね定数kである.\ 本問の場合は\ 100\,\text{N/m}である. \\[.2zh] \bm{(ばねがされた仕事)=(最終状態のばねの弾性エネルギー)-(初期状態のばねの弾性エネルギー)}