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長さ$l$の糸に質量$m$のおもりをつけた単振り子を振動させた.\ 最下点を原点,\ 水平右方 \\[.2zh] \hspace{.5zw}向を正とする$x$軸をとる.\ 重力加速度の大きさを$g$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 位置$x\ (>0)$にあるおもりにはたらく接線方向の力$F$を$m,\ l,\ x,\ g$で表せ. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ ただし,\ 反時計回りを正とする. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $\theta$が小さいとき,\ (1)の力$F$は$x$軸に沿っているとみなせる.\ 周期$T$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ この単振り子を加速度$\alpha$で上昇中のエレベーター内で振動させたときの周期$T’$を \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ この単振り子を加速度$\beta$で移動中の電車内で振動させたときの周期$T”$を求めよ. \\
(2)\ \ $x軸方向の運動方程式は \textcolor{red}{ma=-\bunsuu{mg}{l}x} 
(1)\ \ おもりにはたらく力は重力と張力であるが,\ 張力は接線方向の成分をもたない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 重力mgを分解すると,\ 接線方向の成分はmg\sin\theta\,となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は直角三角形による三角比の定義を用いて\,\sin\theta\,をlとxで表せばよい. \\[1zh] (2)\ \ \bm{復元力F=-\bunsuu{mg}{l}x\ によってx軸上で単振動しているとみなす}のが単振り子の基本である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ \theta\,が小さいときのみ,\ このような近似が可能になる.\ 後は基本的な流れで周期が求まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ F=-\,Kxと比較するとK=\bunsuu{mg}{l}\ であることから,\ T=2\pi\ruizyoukon{\bunsuu mK}=2\pi\ruizyoukon{\bunsuu lg}\ としてもよい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 単振り子の周期は\bm{おもりの質量や振幅に依存せず,\ 糸の長さと重力だけで決まる}. \\[1zh] (3)\ \ 外で静止中の観測者の立場で単振り子を考慮するのは困難である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 共に等加速度運動中の観測者の立場で考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ \bm{重力と慣性力の合力が見かけの重力}となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ エレベーター内の見かけの重力は\ mg+m\alpha=m(g+\alpha)=mg’\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ エレベーター内の見かけの重力加速度は\ \bm{g’=g+\alpha}\ となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ エレベーター内の観測者の立場に立てば,\ 重力加速度g’\,を受けて単振動しているのである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 周期の式のgをg’に変えれば済む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 電車内の場合,\ 三平方の定理より見かけの重力加速度の大きさは\ \bm{\ruizyoukon{g^2+\beta^2}}\ である.