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水平面と角$\alpha$をなす斜面上の1点から,\ 斜面上方で斜面と角$\theta$をなす方向に初速$v_0$で \\[.2zh] \hspace{.5zw}小球を投射したところ,\ 斜面上のある点に落下した.\ 重力加速度を$g$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 斜面に落下するまでの時間$t$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 斜面方向の到達距離$L$を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}以下,\ $\alpha=30\Deg$とする. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ (2)の$L$が最大になるときの$\theta\ (0\Deg<\theta<60\Deg)$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 小球が斜面に対して垂直に落下するときの$\tan\theta$を求めよ. 斜面への斜方投射}}}} \\
(1)\ \ 小球の投射位置を原点とし,\ 斜面方向に$x$軸,\ それと垂直に$y$軸をとる. \\[.5zh] (4)\ \ $小球が落下した瞬間のx軸方向の速度を{v_x}’\,とする.$ \\[.5zh] 水平方向をx軸としても当然求められるが,\ 計算が面倒になる. \\[.2zh] 図のような座標軸で考えるのがポイントである. \\[.2zh] このとき最も注意すべきは,\ \bm{初速に加え,\ 重力加速度も軸方向に分解しなければならない}ことである. \\[.2zh] 結局,\ \bm{x軸方向には加速度-g\sin\alpha,\ y軸方向には加速度-g\cos\alpha\ の等加速度運動}である. \\[.2zh] 以上の点にさえ気をつければ,\ 根本的な考え方は通常の斜方投射と同様である. \\[1zh] (1)\ \ 斜面に落下するとき,\ \bm{(y座標)=0}となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 公式\ y=v_0t+\bunsuu12at^2\ において,\ \bm{v_0\ →\ v_y=v_0\sin\theta,\ \ a\ →\ -g\cos\alpha}\ としてtを求める. \\[1zh] (2)\ \ (1)のtにおけるx座標を求めればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x=v_0t+\bunsuu12at^2\ において,\ \bm{v_0\ →\ v_x=v_0\cos\theta,\ \ a\ →\ -g\sin\alpha}\ として求める. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ この整理が一筋縄ではいかず,\ 三角関数の数学的処理能力がかなり問われる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 通分して共通因数をくくった後,\ 加法定理\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\ を逆に用いる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問だけならばここで終わってもよいのだが,\ (3)に備えてさらに変形する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 積和の公式\ \sin\alpha\cos\beta=\bunsuu12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\ を適用する.\ \sin(-\,\alpha)=-\sin\alpha\ である. \\[1.3zh] \phantom{(1)}\ \ 完全に数学の話になるが,\ 他の解法も考えられる.\ 概要だけ示す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \alpha\,が定数なら,\ L=\bunsuu{2{v_0}^2}{g\cos\alpha}\sin\theta\cos\theta-\bunsuu{2{v_0}^2\sin\alpha}{g\cos^2\alpha}\sin^2\theta=A\sin\theta\cos\theta-B\sin^2\theta\ とみなせる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ これは数\text{I\hspace{-.1em}I}の三角関数で学習する2次同次式の最大・最小問題である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この他,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の微分を利用して求めることも可能である. \\[1zh] (3)\ \ \alpha=30\Deg\,のとき L=\bunsuu{{v_0}^2\{\sin(2\theta+30\Deg)-\sin30\Deg\}}{g\cos^230\Deg} \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ これが最大になるのは\sin(2\theta+30\Deg)=1,\ つまり\ \bm{2\theta+30\Deg=90\Deg}\ のときである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ちなみに,\ このとき\ \bm{L=\bunsuu{2{v_0}^2}{3g}}\ となる. \\[1.3zh] (4)\ \ 斜面に対して垂直に落下する条件は\ \bm{時刻tで{v_x}’=0}\ となることである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \alpha=30\Deg\ のとき,\ t=\bunsuu{2v_0\sin\theta}{g\cos30\Deg}=\bunsuu{4v_0\sin\theta}{\ruizyoukon3\,g}\ である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 最後,\ 両辺を\cos\theta\,(\neqq0)で割ると\tan\theta\ の値が得られる.