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時刻$t=0$に座標$(l,\ h)$の点から小球Bを自由落下させるのと同時に,\ 原点から小球A \\[.2zh] \hspace{.5zw}を$x$軸と角$\theta$をなす方向に速さ$v_0$で打ち出す.\ 重力加速度を$g$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 小球Aの$x$座標が$l$になるときの時刻$t$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 時刻$t$における小球Aの$y$座標$y_{\mathRM{A}}$と小球Bの$y$座標$y_{\mathRM{B}}$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 2つの小球が衝突するときの$\tan\theta$を$l,\ h$で表せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ 小球Bの地面到達前に衝突が起こるために$v_0$が満たすべき条件を$g,\ l,\ h$で表せ. \\
  (3)\ \ 2球が衝突する条件は$\textcolor{red}{y_{\mathRM{A}}=y_{\mathRM{B}}}$である. \\[.5zh]     よって $v_0\sin\theta\cdot t-\bunsuu12gt^2=h-\bunsuu12gt^2$ より $v_0\sin\theta\cdot t=h$ \\[.5zh]     (1)を代入すると $l\tan\theta=h$    $\therefore \bm{\tan\theta=\bunsuu hl}$ \\\\[.5zh] 本問は\bm{木から落ちる猿を矢で撃ち抜くときのモデル}である. \\[.2zh] その条件は,\ \bm{ある時刻において2物体の座標が一致}することである. \\[.2zh] 小球\mathRM{B}のx座標は常にlなので,\ 小球\mathRM{A}のx座標がlになったときにy座標が一致すると衝突する. \\[.2zh] まず,\ このときの時刻を求める.\ これが(1)である. \\[.2zh] 小球\mathRM{A}はx軸方向には\bm{v_x=v_0\cos\theta\,で等速直線運動}する. \\[.2zh] よって,\ \bm{(距離)=(速さ)\times(時間)}\ でtを求めることができる. \\[1zh] (2)\ \ 小球\mathRM{A}はy軸方向には\bm{鉛直投げ上げ運動}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 公式\ y=v_0t+\bunsuu12at^2\ において\ \bm{v_0\ →\ v_0\sin\theta,\ a\ →\ -g}\ とする. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 小球\mathRM{B}は\bm{自由落下運動}だが,\ 小球\mathRM{A}の初期位置を原点とする座標系で考えなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ 初期位置のy座標が0ではなくhであることに注意する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{(最終位置)=(初期位置)+(変位)=h+v_0t+\bunsuu12at^2}\ で,\ \bm{v_0=0,\ a=-\,g}\ とする. \\[1zh] (3)\ \ y_{\mathRM{A}}=y_{\mathRM{B}}\ を立式するとうまく\ \bunsuu12gt^2\ が消える.\ この後で(1)のtを代入すると楽である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ v_0\sin\theta\cdot\bunsuu{l}{v_0\cos\theta}=h より \tan\theta\cdot l=h   この結果の物理的意味が重大である. \\[.7zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\tan\theta=\bunsuu hl\ を満たす角\,\theta\,とは,\ 小球\mathRM{B}の初期位置に照準を合わせたときの角度}である. \\[.7zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 衝突の条件の中にv_0\,が含まれていない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{時刻と照準さえ合わせて矢を発射すれば,\ 発射速度によらず命中する}のである. \\[1zh] (4)\ \ 時刻と照準を合わせても,\ あまりにも速度が遅すぎると命中する前に地面に到達してしまう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そうならないための条件が\ \bm{\left(衝突時刻t=\bunsuu{l}{v_0\cos\theta}\ におけるy_{\mathRM{B}}\right)>0}\ である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ これをv_0\,について解けばよい.\ さらに(3)を利用して\,\theta\,を消去する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1+\tan^2\theta=\bunsuu{1}{\cos^2\theta} より \bunsuu{1}{\cos^2\theta}=1+\bunsuu{h^2}{l^2} \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \cos\theta\,は,\ 原点\mathRM{O},\ (l,\ 0),\ (l,\ h)が作る直角三角形を利用して\cos\theta\ は図形的に求めてもよい.\ \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 原点\mathRM{O}と(l,\ h)の距離は\,\ruizyoukon{l^2+h^2}\ であるから,\ \cos\theta=\bunsuu{l}{\ruizyoukon{l^2+h^2}}\ である.