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地球の中心Oを通る直線状のトンネルがある.\ 地球の密度は一様で,\ 地球の半径を$R$, \\[.2zh] \hspace{.5zw}重力加速度の大きさを$g$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 中心Oから距離$x$の位置にある質量$m$の物体にはたらく万有引力の大きさ$F$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ (1)}\ \ を求めよ.\ この力は,\ Oを中心とする半径$x$の球内の質量がすべて中心Oに集 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ (1)}\ \ まった質点との間にはたらく万有引力と考えてよい. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ トンネルの一端で静かに放した物体が他端に達するまでの時間$T$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ (2)の物体が中心Oを通るときの速さ$v$を求めよ.
(1)\ \ 地球の質量を$M$,\ 万有引力定数を$G$とする. \\[.5zh] (2)\ \ $質量mの物体の運動方程式
\betu\ \ 力学的エネルギー保存則より
(1)\ \ 半径Rの地球の質量をMとして半径xの球の質量M’を表す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{相似な立体の体積は3乗の比}になるから,\ M’:M=x^3:R^3\ とすると\ M’=\bunsuu{x^3}{R^3}M\ である. \\[.6zh] \phantom{(2)}\ \ この質量M’が中心\text{O}にあるとして万有引力を求めればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ (地表における重力)=(地表における万有引力)の関係を利用してGをgに変換する. \\[1zh] (2)\ \ 中心\text{O}を原点としてx軸をとると,\ 万有引力は常に中心を向く. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 向きも考慮するとはたらく力が-Kx\,(K:定数)の形で表されるから,\ この物体は単振動する. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 後は単振動の周期を求める基本手順に従えばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 運動方程式を用いて加速度aを求め,\ a=-\,\omega^2xと比較して\,\omega\,を求める. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 題意より\,\bunsuu12\,周期が求める時間である.\ K=\bunsuu{mg}{R}\,より,\ T_0=2\pi\ruizyoukon{\bunsuu {\vphantom{R}m}{K}}=2\pi\ruizyoukon{\bunsuu Rg}\ としてもよい. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ ちなみに,\ R=6400\,\text{km},\ g=9.8\,\text{m/s}^2\ とすると T=\pi\ruizyoukon{\bunsuu Rg}\kinzi2540\,\text{s}\kinzi42\,分 \\[2zh] (3)\ \ \bm{中心で速さは最大}になる.\ よって,\ 公式\,\bm{v_{\textbf{max}}=A\omega}\,を用いればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この単振動は,\ ばね定数\,k=\bunsuu{mg}{R}\ のばねによる単振動とみなすことができる. \\[.8zh] \phantom{(2)}\ \ よって,\ 力学的エネルギー保存則を用いて求めることもできる. \\[.5zh] \phantom{(2)}\ \ \left(中心における運動エネルギー\ \bunsuu12mv^2\right)=\left(端における弾性力による位置エネルギー\