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初項から第n項までの和S_n\,が次の式で与えられる数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[1zh] {和S_n\,と一般項a_n\,の関係}$}}}} \\\\[.5zh] $以下の原理で,\ 和S_n\,から逆に一般項a_n\,を求めることができる.$ \\[.5zh] ここで,\ $S_{n-1}\ は\ n-1\geqq1,\ つまり\ \bm{\textcolor{red}{n\geqq2\ で定義される.}}$ \\[.2zh] よって,\ $n\geqq2\ の場合と\ n=1\ の場合を分けて考えなければならない.$ \\
a_n=S_n-S_{n-1}\,において形式的にn=1とすると a_1=S_1-S_0 \\[.2zh] つまり,\ S_n\,がS_0=0となるような式ならば,\ n\geqq2のときとn=1のときをまとめることができる.
\phantom{ (1)}\ \ これは,\ $\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{\maru1にn=1を代入したものと一致しない.}}}$ \\\\[.5zh] 忘れずに\bm{場合分け}をして,\ 公式a_n=S_n-S_{n-1}\,を適用する. \\[.2zh] n\geqq2のときのa_n\,に,\ \bm{試しにn=1を代入}してみる. \\[.2zh] これは,\ a_1=S_1\ として求めた真のa_1とは一致しない. \\[.2zh] よって,\ n=1の場合とn\geqq2の場合を別々に答えることになる. \\[.2zh] S_0=-\,1\neqq0より,\ 問題を見た時点で別々に答えることになることはわかる. \\[1zh] 最後は検算して完了する.\ 問題から,\ S_2=1である. \\[.2zh] n\geqq2のときのa_n\,に試しにn=1を代入してみると真のa_1\,と一致するから,\ まとめて答える.