arithmetical-mean

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等差数列をなす3数があり,\ その和が45,\ 積が3240である.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$この3数を求めよ.$ \\  次の3通りの表現のうち,\ 適切な表現を用いて求める. \\[1zh] \text{[1]}の公差形は今ひとつ使い勝手が悪い. \\ \text{[2]}の対称形のほうが,\ 計算が楽になることが多いからである. \\ また,\ 公差形や対称形は等差数列をなす4数,\ 5数の場合にも応用ができる. \\ 4数 a-d,\ a,\ a+d,\ a+2d   5数 a-2d,\ a-d,\ a,\ a+d,\ a+2d \\[1zh] \text{[3]}の平均形は,\ 応用上最も重要な関係である.\ 次の理由もおさえておく. \\ a,\ b,\ cが等差数列をなすとき \bm{b-a=c-b}    よって 2b=a+c \\ 本質的な平均形だが,\ 未知数が3つになるのがデメリットである. \\[1zh] なお,\ 等差数列をなす3数の中央の項を\bm{等差中項}という.  3数の中央の項を$a,\ 公差をdとする.$ \\[.5zh]    本問は対称形で設定すると簡潔に済む. \\ 15(15^2-d^2)=3240 より 15^2-d^2=216 \\ よって d^2=9 より d=\pm3 \\[1zh] 本問は,\ 「3数を求めよ」なので,\ 順序は関係なく単に3つの数を答ればよい. \\ 「a,\ b,\ cがこの順で等差数列」であれば,\ 次のように2通りの場合を答える. \\ (a,\ b,\ c)=(12,\ 15,\ 18),\ (18,\ 15,\ 12) 平均形を用いると,\ \bm{3文字の連立方程式}に帰着する. \\ 連立方程式は,\ \bm{1文字消去}が原則である. \\ よって,\ 消去しやすいbから順番に消去していけば求まる. \\[1zh] ただし,\ 本問の連立方程式は,\ \bm{対称性を生かして解く}のが普通である. \\ t=a,\ c\ を解にもつ2次方程式の1つは (t-a)(t-c)=0 \\ これを展開すると t^2-(a+c)t+ac=0 \\ 和a+cと積acが判明しているので,\ これを逆に利用するのである.