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等差数列の和の公式も\textbf{\textcolor{red}{導出を理解しておくことが重要}}である. \\[1zh] まず具体例として,\ \textbf{\textcolor{blue}{1から100までの自然数の和}}を求めることを考えよう. \\[.2zh] この場合,\ 次のように求めるのが簡潔である.
これを文字を用いて一般化すると,\ 等差数列の和の公式を得ることができる. \\[.2zh] 初項を$a,\ 末項をl,\ 公差をd,\ 項数nの等差数列の和をS_nとする.$ \\[.2zh] \textcolor{cyan}{初項}$\textcolor{cyan}{a}から\textcolor{magenta}{末項l}\ までを逆に並べ,\ 以下のように足し合わせるわけである.$
$さらに,\ \textcolor{forestgreen}{項数nの等差数列の末項lはn番目の項のことである}から$ \\[.5zh] 結局,\ 等差数列の和の公式として以下の2つを暗記することになる.
導出を理解しておけば自分で導けるとはいえ,\ 使用頻度が極めて高いので暗記推奨である. \\[.2zh] 2つの公式は,\ \bm{末項lと公差dのどちらが既知かで使い分ける.} \\[.2zh] 実際には末項が既知であることは少ないので,\ [2]を使うことが多い. \\[.2zh] また,\ どちらの公式を使うにしても,\ \bm{初項aと項数nは必須}である.
次の等差数列の和$S$を求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(1)\ \ 等差数列\ -4,\ -\,1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ 101\ の和$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(2)\ \ 第30項が58,\ 項差-4の等差数列の第50項から第80項までの和$ \\
2つの等差数列の和の公式のどちらを使うにせよ,\ \bm{項数を求める必要がある.}\ 公差はすぐにわかる. \\[.2zh] 一般項a_n=a_1+(n-1)dを求めた後に\bm{末項101が第何項目か}を求めると,\ それが項数である. \\[.2zh] 末項が既知なので,\ 末項を含む方の公式を用いて和を求めるのが簡潔である.
\$初項をa_1とすると \textcolor{cyan}{a_{30}=a_1+(30-1)\cdot(-\,4)=58}$ より $初項\ \
公差が既知なので,\ 等差数列の和の公式を利用するためには\bm{初項を求める必要がある.} \\[.2zh] 等差数列の和の2つの公式は,\ いずれも\bm{初項から第n項までの和}である. \\[.2zh] よって,\ \bm{初項からではない和を求める場合,\ 後から引いて求める}ことになる. \\[.2zh] つまり,\ \bm{(第50項~第80項の和)=(初項~第80項の和)-(初項~第49項の和)}である. \\[.2zh] -\,(初項~第50項の和)としてしまうと,\ 第51項~第80項の和が求まってしまうので注意! \\[.2zh] わざわざ末項を求めるのは面倒なので,\ S_n=\bunsuu12n\{2a+(n-1)d\}\ のほうを利用する.
\bm{第50項を初項と考えて等差数列の和の公式を適用する}別解も示す. \\[.2zh] 第50項を初項とすると\bm{第80項は第31項}となる.\ 80-50=30項ではないので注意してほしい. \\[.2zh] 50からカウントするので,\ -\,50によって除かれる第50項の分を+1する必要がある. \\[.2zh] 80個から49個を除くと考え,\ 直接\ 80-49=31\ と求めてもよい. \\[.2zh] 混乱した場合は,\ \bm{小さい数字で具体的に考えてみる.} \\[.2zh] 例えば,\ 第5項~第8項の項数は\ 8-5=3\ ではなく,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\ の4個である.