arithmetic-sequence-sum

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等差数列の和も\textbf{\textcolor{red}{公式の成り立ち}}を理解しておこう. \\  まず具体例として,\ \textbf{\textcolor{blue}{1から100までの自然数の和}}を求めることを考える. \\  この場合,\ 次のように求めるのが簡潔である. \\[.5zh]  等差数列の和の公式は,\ この考え方を\textbf{\textcolor{blue}{一般化}}して得られる. \\  初項$a,\ 末項l,\ 公差d,\ 項数nの等差数列の和をS_nとする.$ \\  \textcolor{cyan}{初項}$\textcolor{cyan}{a}から\textcolor{magenta}{末項l}\ までを逆に並べ,\ 以下のように足し合わせる.$ \\[.5zh]  $さらに,\ \textcolor{red}{項数nの等差数列の末項lは,\ n番目の一般項に等しい}から$ \\[.5zh]  等差数列の和の公式として,\ 以下の2つの暗記が必須である. \\[1zh] \text{[2]}は[1]から導けるが,\ 試験中に一々考えるのは時間の無駄である. \\ やはり,\ 両方の公式を暗記しておくべきである. \\[1zh] 2つの公式は,\ \bm{末項lと公差dのどちらが判明しているかで使い分ける.} \\ また,\ どちらの公式を使うにしても,\ \bm{初項aと項数nは必須}である. 次の等差数列の和$S$を求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw}$(1)\ 等差数列\ -4,\ -1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ 101\ の和$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$(2)\ 第30項が58,\ 項差-4の等差数列の第50項から第80項までの和$ \\ 2つの等差数列の和の公式のどちらを使うにせよ,\ \bm{項数が必須}である. \\ まず一般項の式を求める.\ 一般項は,\ 第n項目の式である. \\ 後は,\ \bm{末項が第何項目か}を求めれば,\ それが項数である. \\ 末項が判明している場合は,\ 末項を含む公式を用いるのが簡潔である. 等差数列の和の公式を利用するため,\ 何がともあれ初項をまず求める. \\[1zh] 等差数列の和の2つの公式は,\ いずれも\bm{第1項から第n項までの和}である. \\ よって,\ \bm{第1項からではない和を求める場合,\ 後から引いて求める}ことになる. \\ つまり,\ \bm{(第50~80項の和)=(第1~80項の和)-(第1~49項の和)}である. \\ このとき,\ 第50項も除かれてしまうので,\ 第1~50項の和を引かないように注意! \bm{第50項を初項と考えて等差数列の和の公式を適用する.} \\ このとき,\ \bm{第80項\ →\ 第31項}だが,\ 80-50=30\ と間違える人が極めて多い. \\ \bm{50からカウントする}ので,\ -50で除かれた第50項の分を+1する必要がある. \\ 80個から49個を除くと考えて,\ 80-49=31\ と求めることもできる. \\ 混乱した場合は,\ \bm{小さい数字で具体的に考えてみる}とよい. \\ 例えば,\ 第5項~第8項の項数は,\ 8-5=3\ ではなく,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\ の4個である.