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$等比数列をなす3数があり,\ その和が24,\ 積が-4096である.\ この3数を求めよ.$ \\
等比数列をなす3数(等比中項)}$}}}} \\\\[.5zh] 3通りの表現が可能なので,\ 適切な表現を用いて求める. \\[1zh] 公比形}初項a,\ 公比r})$ \{対称形}中央の項a,\ 公比r})$ 平均形}{b^2=ac}a,\ b,\ cがこの順で等比数列})$
\text{[3]}の平均形は,\ 応用上最も重要な関係である.\ 導出も理解しておくこと. \\[.2zh] 3数a,\ b,\ cがこの順で等比数列をなすとき \bm{\bunsuu ba=\bunsuu cb}\ \ (比が等しい)   よって\ \ b^2=ac \\[1zh] なお,\ 等比数列をなす3数の中央の項を\bm{等比中項}という.
}{3数の中央の項を}$,\ 公比をr}とする.$
本問は,\ 対称形で設定すると2式目のrが消えるので簡潔に済む
本問は「3数を求めよ」なので,\ 順序は関係なく単に3つの数を答ればよい. \\[.2zh] 問題に「a,\ b,\ cがこの順で等比数列」などとあれば,\ 次の2通りの場合を答える必要がある. \\[.2zh] (a,\ b,\ c)=(8,\ -\,16,\ 32),\ (32,\ -\,16,\ 8)
平均形を用いると,\ \bm{3文字の連立方程式}となる. \\[.2zh] 本問の連立方程式では,\ \maru1と\maru3からaとcを両方消去でき,\ すぐにbが求まる. \\[.2zh] 後はaとcの連立方程式だが,\ \bm{和と積が既知の連立方程式は対称性を生かして解く}のが聡明である. \\[.2zh] t=a,\ c\ を解にもつ2次方程式の1つは\ (t-a)(t-c)=0  展開すると\ t^2-(a+c)t+ac=0 \\[.2zh] このことを逆に利用してa,\ cを求めるわけである. \\[.2zh] この方法が難しいならば,\ 普通にc=40-aをac=256に代入して1文字消去すればよい.
}異なる3つの数$6,\ x,\ 2x-6$がある順序で等比数列になっている.\ このとき,\ $x$の値を求めよ.  [関西大] \\
$6,\ x,\ 2x-6$は異なる3数であるから 6が等比中項}となるとき \
6,\ x,\ 2x-6は異なる3数なので x\neqq6\ かつ\ x\neqq2x-6\ かつ\ 2x-6\neqq6 \\[1zh] 3数6,\ x,\ 2x-6の並びは3\kaizyou=6通りある. \\[.2zh] しかし,\ b^2=acはaとcが対等なので,\ 等比中項bが何かで場合分けすると3通りで済む. \\[1zh] x=-\,3のときの3数は-3,\ 6,\ -\,12,\ x=\bunsuu32\,のときの3数は\,\bunsuu32,\ -\,3,\ 6である.