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初項$a,\ 公比r,\ 項数n$の\textbf{\textcolor{blue}{等比数列の和$\bm{S_n}$を求める公式}}を導こう. \\[.2zh] 後に学習する$\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{(等差)\times(等比)型の数列の和}}$にもつながる発想なので,\ 導出も重要である. \\\\\\
結論から言えば$r-1$が分母に来るので,\ $\bm{\textcolor{cyan}{r=1とr\neqq1で場合分け}}が必要になる.$ \\\\
$[1]\ \ \bm{\textcolor{cyan}{r=1}}\ のとき  等比数列は \textcolor{magenta}{a,\ a,\ a,\ \cdots\cdots}$ \\[.5zh] \phantom{$[1]$}\         \ \ $\hspace{.1zw}結局,\ \textcolor{magenta}{n個のaの和}であるから$ ] $[2]\ \ \bm{\textcolor{cyan}{r\neqq1}}\ のとき  \bm{\textcolor{red}{S_n\,を和の形で書き下し,\ 公比を掛けたものを1つずらして引く.}}
r\neqq1\ のとき,\ \bm{S-rS}\ を計算すると,\ \bm{中央部分の項が全て消え,\ 初項と末項のみが残る.} \\[.2zh] r<1のときは\ \bunsuu{a(1-r^n)}{1-r},\ r>1のときは\ \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\ を用いると-が出てこないので簡潔に済む.
\等比数列3,\ 6,\ 12,\ \cdots\cdots,\ 3072の和Sを求めよ.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ また,\ 各項の逆数の和Tを求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ 等比数列a,\ 2ar,\ 4ar^2,\ \cdots\cdots\ の初項から第n+1項までの和Sを求めよ.$ \\
初項$a$,\ 公比$2r$,\ 項数$n+1$}の等比数列の和である
(1)\ \ 初項と公比はすぐにわかるので,\ 後は項数がわかれば等比数列の和の公式を適用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般項a_n=ar^{n-1}\,を用いて末項3072が何項目かを求めると,\ それが項数である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2^{10}=1024\kinzi1000くらいは常識としておきたい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 公比2>1なので,\ \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\,のほうを適用する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 逆数にすると公比\,\bunsuu12<1となるので,\ \bunsuu{a(1-r^n)}{1-r}\,のほうを適用する. \\\\
(2)\ \ 公比は隣り合う項の比であるから \bunsuu{2ar}{a}=2r \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 公比に文字を含むので,\ \bm{公比が1か否かで場合分け}する必要が生じる.
}初項から第10項までの和が4,\ 第11項から第20項までの和が8である等比数列に \\[.2zh] \hspace{.5zw}ついて,\ 次を求めよ.\ 公比は実数とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 初項から第30項までの和     (2)\ \ 第31項から第40項までの和 \\
$初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和をS_n\,とすると S_{10}=4,\ \ S_{20}=4+8=12$ \\[ と矛盾}
条件を立式したいが,\ 等比数列の和の公式\ \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\ は,\ r\neqq1のときにしか使えない. \\[.8zh] よって,\ まずr=1の可能性を探る必要がある. \\[.2zh] 試しに\bm{r=1としてみると矛盾が生じるので,\ r\neqq1とわかる.} \\[.2zh] r=1のとき\bm{S_n=na}\ であり,\ これと\ S_{10}=4\ から初項aが求まる. \\[.2zh] この初項aを元にS_{20}\,を求めてみると,\ 問題の条件から求まるS_{20}\,の値と矛盾する. \\[1zh] (1)\ \ 2つの和の条件を公式で表すと,\ 2文字a,\ rの連立方程式となるが複雑である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2式をうまく活用して計算すると,\ a,\ rの値を求めずともS_{30}\,を求められる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bunsuu{a(r^{20}-1)}{r-1}\ と\ \bunsuu{a(r^{30}-1)}{r-1}\ の分子を因数分解すると,\ \maru1式が作り出せる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 公式\ a^2-b^2=(a+b)(a-b),\ \ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\ を用いた. \\[1zh] (2)\ \ 因数分解すると\maru2を利用できる.