geometric-progression-sum

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等比数列a,\ 2ar,\ 4ar^2,\ \cdots の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ 等比数列\suuretu{a_n}の初項から第n項までの和をS_nとする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ S_{10}=4,\ S_{20}=12\ のとき,\ S_{30}\ の値を求めよ.$ \\  初項$a,\ 公比r,\ 項数n$の\textbf{\textcolor{blue}{等比数列の和$\bm{S_n}$の公式}}を導く. \\  後の$\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{(等差)\times(等比)型の数列の和}}$につながる考え方であり,\ 重要である. \\\\\\  $\bm{\textcolor{cyan}{公比rが1の場合と1でない場合で場合分け}}が必要である.$ \\\\[.5zh]  $[2]\ \bm{\textcolor{cyan}{r\neqq1}}\ のとき  \bm{\textcolor{magenta}{S_nを書き出し,\ 公比を掛けたものをずらして引く.}}$ \\[.5zh] r\neqq1\ のとき,\ \bm{S-rS}\ を計算する. \\ 和の形で実際に書き出すと,\ \bm{中央部分の項が全て消え,\ 初項と末項のみが残る.} \\ 公比r<1のとき\ \bunsuu{a(1-r^n)}{1-r},\ r>1のとき\ \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\ を用いて計算するとよい. 公比は,\ 隣り合う項の比であるから \bunsuu{2ar}{a}=2r \\ 公比に文字を含むから,\ \bm{(公比)=1\ を場合分け}して答える.  (2)\ $等比数列\suuretu{a_n}の初項をa,\ 公比をrとする.$ \\[.2zh] r\neqq1\ の保証がなければ,\ 公式\ \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\ を使うことはできない. \\ よって,\ まず\bm{r=1とすると矛盾が生じることから,\ r\neqq1を示す.} \\ r=1のとき,\ \bm{S_n=na}\ であり,\ これと\ S_{10}=4\ から初項aが求まる. \\ この初項aを元にS_{20}を求めてみると,\ 問題で与えられたS_{20}の値と矛盾する. \\[1zh] r\neqq1が確定後は,\ 2つの和の条件を公式で表すと2文字の連立方程式となる. \\ これを解いて,\ 初項aと公比rを求めることも当然できる. \\ しかし,\ 2つの式をうまく用いて計算すると,\ a,\ rの値を求めずに済む. \\[1zh] \bunsuu{a(r^{20}-1)}{r-1}\ と\ \bunsuu{a(r^{30}-1)}{r-1}\ の分子を因数分解すると,\ \maru1式が作り出せる. \\ aを求めることも,\ r^{10}=2\ をこれ以上変形することもなく,\ S_{30}が求まるのである.