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Σ公式の証明
数列の和の公式の導出}$}}{階差の恒等式}}を利用した2通りの方法がある. \\
いずれにしても,\ \textbf{\textcolor{red}{階差の和と,\ より低次の$\bm{\retuwa{}{}}$公式を利用する}}ことになる. \\
この公式の導出自体が入試問題となりうるので,\ よく確認しておいてほしい. \\\\
$\retuwa{k=1}{n}k^2\ の導出と同様の発想で,\ \retuwa{k=1}{n}k^3,\ \retuwa{k=1}{n}k^4,\ \cdots\cdots\ を順に求めていける.$ \\
出発点となる公式\ $\retuwa{k=1}{n}k=1+2+\cdots+n=\bunsuu12n(n+1)$\ は等差数列の和として求まる. \\\\\\\\
$[1]\ \ [\,\bm{\textcolor{blue}{f(x)がn次式ならば,\ 階差f(x+1)-f(x)は(n-1)次式}}\,]$ \\[1zh] 次のような\bm{階差の恒等式}を考えると,\ 全て右辺の次数が左辺より1低くなる. \\[.2zh] (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 \\[.2zh] (k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1 \\[1zh] 左辺は,\ \bm{階差の形}であることを利用し,\ 和を求めることができる. \\[.2zh] 右辺は,\ 判明済みのより低次のΣ公式を適用する. \\[1zh] 後は,\ \retuwa{k=1}{n}k^2\ について解けばよい. \\[1zh] {連続整数の積の階差も連続整数の積}}]$ \\[1zh] }{恒等式} \textcolor{red}{k(k+1)=\bunsuu13\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}}}$
$\textcolor{cyan}{(右辺)}=\bunsuu13\retuwa{k=1}{n}\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}$ \\[.5zh] 次のような\bm{連続整数の積に関する階差の恒等式の両辺のΣをとる.} \\[.2zh] k(k+1)=\bunsuu13\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\} \\[.8zh] k(k+1)(k+2)=\bunsuu14\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\} \\[1zh] 右辺は,\ \bm{階差の形}であることを利用し,\ 和を求めることができる. \\[.2zh] 左辺は,\ 展開してより低次のΣ公式を適用する. \\[1zh]