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次の数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[.5zh]  \textbf{\textcolor{magenta}{一見して与えられた数列の規則性がわからない場合,\ 階差数列を調べてみる.}} \\  これは連続関数の変化を調べるとき,\ 微分するのと同じである. \\\\ 等差数列の一般項は a_n=a+(n-1)d \\ これは,\ 第n項が初項aに公差dを(n-1)回足して得られることを意味する. \\[1zh] ここでも等差数列の一般項と同様に考える. \\ 第n項は,\ \bm{初項a_1に階差数列のb_1からb_{n-1}までを足して得られる.} \\ これをΣ記号を用いて表したものが上の公式である. \\ k=1からn-1までを足し合わせることに注意して欲しい. \\ 原理を理解した上で公式として暗記しておくこと. \\[1zh] この公式の\bm{実用上の重大な注意点}が次である. \\ 一般に,\ \bm{\retuwa{k=1}{n}は\ n\geqq k\ で定義される.}\ 例えば,\ \retuwa{k=2}{1}のようなことは許されない. \\ よって,\ \retuwa{k=1}{n-1}はn-1\geqq1,\ つまり\bm{n\geqq2で定義される.} \\ \bm{a_nはn\geqq2のときにこの公式を使用し,\ n=1のときを別に考える}ことになる. 第1階差数列を調べてみてもまだ規則性がわからない. \\ そこで,\ \bm{第2階差数列}も調べてみると,\ \bm{等差数列}となっていることがわかる. \\ \suuretu{c_n}から順番に遡って,\ \suuretu{a_n}を求めることになる. \\[1zh] 基本的には公式に代入していけばよいだけだが,\ \bm{場合分けが必要}である. \\ n\geqq2\ のとき,\ 公式に代入して計算していく. \\ n-1までの和なので,\ \bm{Σ公式のnにn-1を代入したものを適用}する. \\ \bm{n\geqq2\ のときの結果に,\ 試しにn=1を代入}してみる. \\ すると,\ 実際のb_1と一致している. \\ 結局,\ \bm{n\geqq2\ の場合と\ n=1\ の場合を1つにまとめて答える}ことができる. \\ b_n\ (n\geqq1)\ が求まれば,\ 全く同様にしてa_nを求めればよい.