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次の数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[.5zh] {$\bm{階差数列}$}}{一見して与えられた数列$\bm{\{a_n\}}$の規則性がわからない場合,\ 階差数列$\bm{\{b_n\}}$を調べてみる.}} \\[.2zh] $b_1=a_2-a_1,\ \ b_2=a_3-a_2,\ \ \cdots\cdots,\ \ b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$である. \\[.2zh] 階差数列$\{b_n\}$に規則性があれば,\ 以下のような原理で$\{a_n\}$の一般項を求めることができる. \\[1zh] この公式には次のような導出法もある. \\[.2zh] 応用を考えるとむしろこちらの方が重要なので,\ 理解しておいてほしい.\ 後に再登場する. \\[1zh] \{a_n\}の階差数列が\{b_n\}なのであり,\ \{a_n\}を階差数列とはいわない. \\[.2zh] 用語の使い方に注意してほしい. \\[1zh] 等差数列の一般項の公式はa_n=a+(n-1)dであった. \\[.2zh] これは,\ 第n項a_n\,が初項aに公差dを(n-1)回足したものであることを意味している. \\[.2zh] 同様の発想で,\ 階差数列\{b_n\}を利用して\{a_n\}の一般項を求めることができる. \\[.2zh] \bm{第n項a_n\,は,\ 初項a_1にb_1\,からb_{n-1}\,までをすべて足したものである.} \\[.2zh] つまり \bm{a_n=a_1+(b_1+b_2+b_3+\cdots\cdots+b_{n-1})} \\[.2zh] これをΣ記号を用いて表すと,\ 上の公式が得られる.\ k=n-1までの和であることに注意. \\[.2zh] \bm{原理を理解した上で公式として暗記}しておくこと. \\[1zh] 公式a_n=a_1+\retuwa{k=1}{n-1}b_k\,においてn=1とすると,\ \retuwa{k=1}{0}b_k\ となってしまう. \\[1zh] 一般に,\ \bm{\retuwa{k=1}{n}は\ n\geqq k\ で定義される.}\ よって,\ \retuwa{k=1}{n-1}はn-1\geqq1,\ つまり\bm{n\geqq2で定義される.} \\[1zh] 実際にa_n\,の一般項を求めるとき,\ \bm{n=1のときだけは別個に考えなければならない}のである.
第1階差数列を調べてみても,\ まだ規則性が見つからない. \\[.2zh] \bm{第2階差数列}も調べてみると,\ \bm{等差数列}となっていることに気付く. \\[.2zh] \suuretu{c_n}から順に遡っていき,\ \suuretu{a_n}を求めることになる. \\[1zh] まず,\ \{c_n\}の一般項を求め,\ それを元に公式b_n=b_1+\retuwa{k=1}{n-1}c_k\,によって\{b_n\}を求める. \\[1zh] このとき,\ \bm{公式で求まるのはn\geqq2の場合}であることに注意する. \\[.2zh] n-1までの和なので,\ \bm{Σ公式のnにn-1を代入したものを適用}する.
\bm{n\geqq2\ のときのb_n\,が求まるが,\ 試しにn=1を代入}してみると,\ 実際のb_1\,と一致している. \\[.2zh] 結局,\ \bm{n\geqq2\ の場合と\ n=1\ の場合をまとめてb_n=n^2-2n+3と表せる}ことがわかる. \\[.2zh] b_n\ (n\geqq1)\ が求まれば,\ 全く同様の手順でa_n\,も求めることができる. \\[1zh] ところで,\ n=1のときも成立する場合としない場合の違いが気になる. \\[.2zh] a_n=a_1+\retuwa{k=1}{n-1}b_k\,より,\ n=1のとき形式的に\retuwa{k=1}{n-1}b_k=0となれば,\ n=1のときも成立する. \\[1zh] そして,\ 次のΣ公式の右辺はすべてn=1のとき形式的に0となる. \\[.2zh] つまり,\ 和がΣ公式で計算できるような階差数列ならば,\ n=1のときも成立する. \\[.2zh] 結局,\ ほとんどの場合n=1のときも成立するので,\ 成立しない場合にはミスを疑った方がよい.