次の数列a_n}の一般項を求めよ.$ {${階差数列}${一見して与えられた数列$a_n$の規則性がわからない場合,\ 階差数列$b_n$を調べてみる. $b₁=a₂-a₁,b₂=a₃-a₂,,b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$である. 階差数列${b_n}$に規則性があれば,\ 以下のような原理で${a_n}$の一般項を求めることができる. この公式には次のような導出法もある. 応用を考えるとむしろこちらの方が重要なので,\ 理解しておいてほしい.\ 後に再登場する. {a_n}の階差数列が{b_n}なのであり,\ {a_n}を階差数列とはいわない. 用語の使い方に注意してほしい. 等差数列の一般項の公式はa_n=a+(n-1)dであった. これは,\ 第n項a_nが初項aに公差dを(n-1)回足したものであることを意味している. 同様の発想で,\ 階差数列{b_n}を利用して{a_n}の一般項を求めることができる. {第n項a_nは,\ 初項a₁にb₁からb_{n-1}までをすべて足したものである.} つまり {a_n=a₁+(b₁+b₂+b₃++b_{n-1})} これをΣ記号を用いて表すと,\ 上の公式が得られる.\ k=n-1までの和であることに注意. {原理を理解した上で公式として暗記}しておくこと. 公式a_n=a₁+n-1}b_kにおいてn=1とすると,\ 0}b_k\ となってしまう. 一般に,\ {Σは\ n k\ で定義される.}\ よって,\ n-1}はn-11,\ つまり{n2で定義される.} 実際にa_nの一般項を求めるとき,\ {n=1のときだけは別個に考えなければならない}のである. 第1階差数列を調べてみても,\ まだ規則性が見つからない. {第2階差数列}も調べてみると,\ {等差数列}となっていることに気付く. c_n}から順に遡っていき,\ a_n}を求めることになる. まず,\ {c_n}の一般項を求め,\ それを元に公式b_n=b₁+n-1}c_kによって{b_n}を求める. このとき,\ {公式で求まるのはn2の場合}であることに注意する. n-1までの和なので,\ {Σ公式のnにn-1を代入したものを適用}する. {n2\ のときのb_nが求まるが,\ 試しにn=1を代入}してみると,\ 実際のb₁と一致している. 結局,\ {n2\ の場合と\ n=1\ の場合をまとめてb_n=n²-2n+3と表せる}ことがわかる. b_n\ (n1)\ が求まれば,\ 全く同様の手順でa_nも求めることができる. ところで,\ n=1のときも成立する場合としない場合の違いが気になる. a_n=a₁+n-1}b_kより,\ n=1のとき形式的にn-1}b_k=0となれば,\ n=1のときも成立する. そして,\ 次のΣ公式の右辺はすべてn=1のとき形式的に0となる. つまり,\ 和がΣ公式で計算できるような階差数列ならば,\ n=1のときも成立する. 結局,\ ほとんどの場合n=1のときも成立するので,\ 成立しない場合にはミスを疑った方がよい.
