階差を利用する和②：分数の数列の和（応用）

次の数列の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ {階差を利用する和\ ：分数の数列の和(応用)}$ 分子3,\ 5,\ 7,は初項3,\ 公差2の等差数列なので,\ 第k項は\ 3+(k-1)2=2k+1 第k項の変形が難しいと思うかもしれないが,\ {階差の形に変形}したいと考えると自然である. 第k項が階差の形になっていなければ,\ 高校範囲で和を求めるなどできないのである. そして,\ 階差の形にするには分母をk²と(k+1)²に分けるしかない. {2k+1}{k²(k+1)²}={a}{k²}-{b}{(k+1)²}\ として分母を払うと　2k+1=a(k+1)²-bk² 恒等式の両辺にk=0を代入するとa=1,k=-1を代入するとb=1が求まる. 最後検算のためにn=1を代入してみると34となり,\ 問題で与えられている初項と一致する. いきなり部分分数分解しようとしてはならない. 分数式では,\ 最初に以下の変形をするのが原則であった. {(分子の次数)(分母の次数)のとき,\ (分子の次数)<(分母の次数)に変形する.} これは,\ 数列分野や本問に限らず,\ 高校数学全般において成り立つ原則である. 具体的には,\ 以下のように分子に分母と同じ形を無理矢理作り出した後,\ つじつまを合わせる. 後は部分分数分解すればよい.関係式\ 1}{AB}={1}{B-A}(1A-1B)}の利用が有効であった. 分子が等比数列のようになっている本問の型は,\ 初見だと手こずるだろう. とりあえず2^kを無視し,\ {1-k}{k(k+1)}={a}{k}-{b}{k+1}\ として分解してみる. 分母を払うと1-k=a(k+1)-bk　　k=0としてa=1,k=-1としてb=2を得る. つまり,\ {1-k}{k(k+1)}={1}{k}-{2}{k+1}\ である. この両辺に2^kを掛けると\ {2^k(1-k)}{k(k+1)}={2^k}{k}-{2^{k+1{k+1}\ となり,\ これは階差の形である. 最後は通分してもしなくてもよいだろう.