次の計算をせよ.\ ただし,\ a>0,\ b>0とする.$指数法則と累乗根の計算 \\
小数乗は分数に直して考える}しかない.\ 0.75=75}{100}=34\ である.
0.0016^{34}=(0.0016^3)^{14}\ だからといって,\ 0.0016^3\,を先に計算しようとすると地獄絵図になる.
a^r\,を簡単にするとき,\ まずaが何の何乗か}を考えるのが基本である.
0.0016=0.2^4\,に気付けたならば,\ 後は指数法則\ (a^r)^s=a^{rs\ を適用するだけである.
0.2^4\,に気付けない人は,\ 0.0016も分数に直して考えればよい(別解).
最後は分数で答えてもよいが,\ 問題に合わせた形で答えるのが普通である.
単純な計算問題は,\ ただ解けるだけではなく「素早く」解けなければ実戦で通用しない.
指数やその後で学習する対数の計算を素早く行うには,\ 頻出の累乗数の暗記が必要である.
以下が特によく見かける累乗数である.\ 数字を見たときすぐに反応できるようにしておいてほしい. \\
累乗の計算の工夫も重要である.\ 例えば,\ 2^6\,を計算するときに順に2を掛けていくのは愚かである.
2^6=2^3×2^3=8×8=64}が速い.\ これに釣られて3^6=3^3×3^3=27×27としてはならない.
3^6=3^2×3^2×3^2=9×9×9=81×9=729}\ とすると繰り上げもなく暗算も可能である.
その他,\ 2^6=4^3=8^2=64}といった関係も重要である.
本問では64と125を見た瞬間に3乗であることに気付きたい.\ 後は指数法則(a^r)^s=a^{rs}\,である. \\
結局,\ -\,1乗をすることは逆数にすること}である.
a^r\,の積・商はaを統一する}のが原則である.\ すると,\ 指数法則が適用できるようになる.
本問のaは4,\ 32,\ 2であるから,\ 2に統一できる.
後は,\ 指数法則\ (a^r)^s=a^{rs},\ \ a^r× a^s=a^{r+s},\ \ a^r÷ a^s=a^r}{a^s}=a^{r-s}\ を適用していけばよい.
最後は,\ a^{-r}=1}{a^r}\ を用いて簡単にする.
累乗根の積・商は,\ とにかくまず指数の表現に変換する.}\ \ もちろん,\ √[n]{a^m}=a^{ mn\ を適用する.
気を抜くと6^{16}=1のような間違い}も多発するので,\ 指数や累乗根に慣れるまでは要注意である.
次に,\ aをそろえるために6,\ 48,\ 12を素因数分解すると,\ 結局2と3の累乗だけになる.
(ab)^r=a^rb^r\,で一旦分割した後,\ 今度は(a^r)^s=a^{rs}\,で2と3の累乗をそれぞれまとめていけばよい.
を意味してしまう.
最後,\ 指数の形で終えるか√の形に直すかは,\ 問題に合わせるのが普通である.
a^{35}=√[5]{a^3}\,のように複雑になる場合は指数のままでよい.\ なお,\ aが何であってもa^{0}=1である.
文字になっただけでやることは(4)と同じである.
X÷(a^{14}b^4)^{13}=X÷ a^{14}× b^{43}\ とすると間違い}なのも同じである.
和・差}の場合は積・商とは異なり,\ √{ }のままで計算}した方が楽である.
うっかり\ √[3]{-\,81}=(-\,81)^{13}\ としてしまう間違い}も防ぐことができる.
a^r\,において分数乗が許されるのはa>0のときのみ}であった.
√[奇数]{負}はさっさと-を前に出してしまえばよい.}
後は一見複雑だが,\ 2√8+√{18}=4√2+3√2=(4+3)√2=7√2\ と同様の計算にすぎない.
前に出せるものを出してしまえば同じ\,√[n]{a}\,だけになるので,\ 後は普通に足し引きできる.
√2+√3\ や\,√[3]{2}+√[4]{2}\,のようにnまたはaが異なる累乗根の和・差は,\ それ以上計算できない.
√{2^3}=2√2\,のように平方根が2個で1個前に出せたのと同様,\ 3乗根ならば3個で1個前に出せる.
81は素因数3を4個もつから,\ 1個前に出して3√[3]{3}\,となる.
24は素因数2を3個もつから,\ 2を1個前に出せる. を逆に用いる}と
この法則は使う機会が少ないので気付きにくいという人も多いだろう.
その場合は一旦指数に直して考えるとよい. と考えると速いが,\ 初学者は気付きにくい.
要は\と同様の有理化}である.
3乗根ならば3個で√[3]{ }をはずせるので,\ 中身が3乗になるよう分母分子に√[3]{3}を掛けたわけである.
る.
√[6]{a}=A,\ √[6]{b}=Bとおくと,\ 左の2つの因数は(A+B)(A-B)=A^2-B^2\,とできる.
ここで,\ (√[n]{a}\,)^m=√[n]{a^m\ より\ (√[6]{a}\,)^2=√[6]{a^2}\ である.
さらに,\ √[n]{a^m}=√[np]{a^{mp\ を逆に用いて\ √[6]{a^2}=√[3･2]{a^2}=√[3]{a}\ となる.
一旦指数に直して考えると,\ (√[6]{a}\,)^2=(a^{16})^2=a^{13}=√[3]{a}\ となる.
後は,\ 展開・因数分解公式\ (a± b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3± b^3}\ を利用すればよい.
結局,\ 以下が本問の本質だったわけである.
(A+B)(A-B)(A^4+A^2B^2+B^4)=(A^2-B^2)(A^4+A^2B^2+B^4)=A^6-B^6
