8^{44}\,の一の位の数字,\ 桁数,\ 最高位の数字を求めよ.$ \\
桁数と最高位の数字
$8,\ 8^2,\ 8^3,\ 8^4,\ 8^5,\ ･･････$の一の位の数字は $8\ \ 4\ \ 2\ \ 6\ |\ 8\ \ 4\ \ 2\ \ 6\ |\ 8\ ･･････$
一の位の数字は周期4で循環}し,\ 44は4の倍数なので,\ $8^{44}$は1周期の最後の数である. \ \ 一の位の数字は 6}$
一の位の数字は容易に求められる.\ 累乗の一の位の数字は必ず循環する}からである.
順に書き出して循環周期を確認し,\ 与えられた数が1周期の何番目に位置するかを考えれば済む.
以下のようにして,\ 周期4で循環することを数式で明確に示すこともできる.
8^{n+4}-8^n}=8^n･8^4-8^n=8^n(8^4-1)=8^n･4095=(偶数)･(5の倍数)=(10の倍数)}
整数問題としてとらえると,\ 一の位の数字とは10で割ったときの余りである.
ここで,\ (10で割ったときの余りが等しい)=(差が10で割り切れる)}と言い換えられるのであった.
a=10q_1+r,\ b=10q_2+rのとき,\ a-b=10(q_1-q_2)=(10の倍数)だからである.
ただし,\ 8^5-8,\ 8^6-8^2,\ ･･････\ が10の倍数であることを1つずつ示しても永遠に終わらない.
文字を用いて一般化し,\ 8^{n+4}-8^n=(10の倍数)を示すことになる.
}{桁数の求め方を確認する.\ まず,\ 自然数を1から並べ,\ 桁数がどう変わるかをみてみよう. {桁数は,\ $10^{2\,(=100)\,になった瞬間3}桁に,\ 10^{3\,(=1000)$になった瞬間4}桁に増える.
よって,\ $10^2≦ N<10^3\,を満たすとき,\ その数N$は3桁である.
例えば,\ $10^{2.8}$は整数ではないが,\ 100以上1000未満の数なので,\ 整数部分は3桁である.
結局,\ $桁数を求めることは,\ その数が10の何乗であるかを求めることに帰着する.$
そして,\ ある数$N$が10の何乗であるかは,\ 以下のようにして求められる.
対数の定義は \ \ \ $a^p=N\ ⇔\ p=\log_aN$
$a=10とすると 10^p=N\ ⇔\ p=\log_{10}N$
よって,\ $p=\log_{10}Nを求めると,\ Nを10^p\,の形で表せることになる.$
なお,\ 10を底とする対数}を常用対数という.
10進法では10を底とすると桁数などの特別な意味をもつので,\ これが\.{常}に\.{用}いられた.
m{8^{44}\,の桁数は\ \ 40桁}
通常,\ 問題で与えられるのは\log_{10}2と\log_{10}3の値だけである.
そして,\ この2つさえあれば,\ \log_{10}1から\log_{10}10までの値が\log_{10}7を除いて求められる.
\log_{10}8は,\ 対数の性質\log_aM^r=r\log_aMを用いることで\log_{10}2で表される.
10^{39}
