4^x-2a･2^x+a^2+2a-4=0$が2つの異なる正の実数解をもつような実数$a$の
\ \ 値の範囲を求めよ.
(2)\ \ $4^x-2a･2^x+a^2+2a-4=0$が正と負の実数解を1つずつもつような実数$a$の
\ \ 値の範囲を求めよ. \\
置換型指数方程式が実数解をもつ条件
(1)\ \ $2^x=t}$とおくと $t^2-2at+a^2+2a-4=0\ ･･････\,①$
また $x>0$のとき $t>1}$
$x$と$t$は1対1で対応するから,\ ①が$t>1$の範囲に異なる2つの実数解をもてばよい.}
$f(t)=t^2-2at+a^2+2a-4$とおく.
(.15zw}i.15zw})\ \ ①の判別式を$D$とすると
$ D4}=(-\,a)^2-(a^2+2a-4)=-\,2a+4\ >0} より a<2$
(ii)\ \ $y=f(t)$の軸について $a>1}$
(2)\ \ $x>0のとき\ t>1}, x<0のとき\ 01$と$00であり,\ これはt>1に対応する.
\ \ また,\ y=2^x\,は単調増加関数}なので,\ 2^x=tのxの個数とtの個数は常に1対1で対応する.
\ \ よって (与式が2つの異なる正の実数解をもつ)=(①がt>1の2つの異なる実数解をもつ)
\ \ 2次方程式の解の存在範囲は,\ グラフで図形的に考える}のであった.
\ \ 判別式,\ 軸の位置,\ 区間の端のy座標}の3点に着目し,\ f(t)が図のようになる条件を考える.
\ \ まず,\ t軸と2点で交わらなければならないから,\ D>0である.
\ \ また,\ (軸)>1でなければならない.\ f(t)=(t-a)^2+2a-4より,\ 軸はt=aである.
\ \ さらにf(1)>0であれば,\ t軸のt>1の部分と2点で交わることが確定する.
(2)\ \ x<0は00であることに注意してほしい.
\ \ f(0)>0かつf(1)<0ならば,\ f(t)が図のようになる.
\ \ この2つの条件だけでt軸と2点で交わることが確定するから,\ D>0は必要ない.
a,\ b$を実数とする.\ $4^x-2a･2^x+b=0$が2つの異なる実数解をもつとき,\ 点$(a,\ b)$
の表す領域を求めよ. \\
{2^x=t\ (t>0)}$とおくと $t^2-2at+b=0\ ･･････\,①$
$x$と$t$は1対1で対応するから,\ ①が$t>0$の範囲に異なる2つの実数解をもてばよい.}
$f(t)=t^2-2at+b$とおく.
(.15zw}i.15zw})\ \ ①の判別式を$D$とすると $ D4}=a^2-b\ >0} より b0}$
(\scalebox{.7}[1]{iii})\ \ $f(0)}=b\ >0}$
(i)\,～\,(iii)\,より,\ 求める領域は右下図の斜線部分.\ ただし,\ 境界線を含まない.
すべての実数xは,\ t>0と対応する.
f(t)が左図になる条件は,\ D>0,\ (軸)>0,\ f(0)>0である.
これらの条件をa,\ b平面に図示すればよい.
f(t)=(t-a)^2-a^2+bより,\ 軸はt=aである.
a>0,\ b>0より第1象限,\ かつb
