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初項200,\ 公差-6の等差数列の和S_n\,の最大値を求めよ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $初項-300,\ 公差5の等差数列の和S_n\,の最小値を求めよ.$ \\等差数列の和の最大・最小}$}}}} \\\\[.5zh] $S_n$の式を求めてから最大・最小を考えてもよいが(別解),\ 本質的ではない. \\[.2zh] \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{等差数列は単調に増加するか減少するか}}のどちらかしかないことを利用すると簡潔に済む. \\[.2zh] 例えば,\ (1)のように\textbf{\textcolor{magenta}{公差が負の単調減少数列ならば,\ いつかは負の項になる}}はずである. \\[1zh] (1)の数列を具体的に書き出してみる. \\[.2zh] すると,\ \textcolor{cyan}{第34項までが正の項}で,\ \textcolor{magenta}{第35項からは負の項}である. \\[.2zh] 一旦負の項になると,\ 二度と正の項になることはない. \\\\
$S_n\,は,\ 初項から第n項までの和である.$ \\[.2zh] よって,\ $\bm{\textcolor{red}{S_n\,が最大となるのは,\ 正の項だけを全て足し合わせた場合}}$である. \\
つまり,\ \textcolor{cyan}{第34項まで(200から2まで)足し合わせた$S_{34}$が最大値}となる. \\
第35項の$-\,4$も足してしまうと,\ 当然最大とはいえなくなる. \\\\
結局,\ $\bm{\textcolor{red}{一般項a_n>0となるようなnの範囲における和を求めればよい}}$わけである. \\[.2zh] 以上を踏まえると,\ 以下のような解答になる. \\\\\\
S_n\,を連続関数とみると上に凸の2次関数なので,\ n=\bunsuu{203}{6}\ のとき最大となる. \\[.8zh] しかし,\ 実際は数列なので\bm{nは自然数}である. \\[.2zh] よって,\ n=\bunsuu{203}{6}=33.8\cdots\ に最も近い自然数n=34のときの値を答えることになる. \\[.8zh] 別解は自然ではあるが本質的ではないので,\ 応用性を考えると推奨されない解法である.
\phantom{ (1)}\ \ よって,\ \textcolor{red}{初項から第60項または第61項までの和が最小}となる. \\[1zh] 本問は単調増加数列であり,\ 最初は負の項だがいつかは正の項になる. \\[.2zh] よって,\ \bm{S_n\,が最小となるのは,\ 負の項のみを足し合わせた場合}である. \\[.2zh] ゆえに,\ a_n<0となるnの範囲を求め,\ そのnの範囲における和を求めればよい. \\[.2zh] ここで,\ \bunsuu{305}{5}=61であり,\ ちょうど割り切れる.\ つまり,\ \bm{n=61のときa_{61}=0}である. \\[.8zh] 0の項を足し合わせても当然和は変わらないから,\ \bm{S_{60}=S_{61}}\,が成立することになる. \\[.2zh] よって,\ 単に最小値を求めるだけならば,\ S_{60}\,とS_{61}\,のどちらを計算してもよい. \\[.2zh] しかし,\ \bm{S_n\,が最小となるときのnの値を問われた場合はn=60,\ 61と答える}必要がある.