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一般項が\ a_n=3n-2,\ b_n=4n-1\ である2つの等差数列\suuretu{a_n},\ \suuretu{b_n}の共通項を$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$小さい方から順に並べてできる数列\suuretu{c_n}の一般項を求めよ.$ \\
2つの等差数列の共通項}$}}}} \\\\[.5zh] 2つの解法を示す.\ わかりやすいのは[1]だが,\ 重要なのは[2]である. \\\\
$[1]$\ \ $\bm{\textcolor{magenta}{項を書き出し,\ 初項を探す.}}$ \\[.2zh] \phantom{  [1]}\ \ 公差は,\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{\suuretu{a_n},\ \suuretu{b_n}の数列の公差の最小公倍数}}$となる. \\\\
$[2]$\ \ $\bm{\textcolor{red}{\suuretu{a_n}の第l項と\suuretu{b_n}の第m項が一致するl,\ mの条件}}を求める.$ \\[.2zh] \phantom{  [1]}\ \ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{ax+by=c\ 型の不定方程式}}(整数問題)に帰着する.
よって,\ \suuretu{c_n}は\textcolor{red}{初項7,\ 公差12の等差数列}である.
一方の間隔(公差)が3,\ 他方の間隔が4ならば,\ 最小公倍数12の間隔で共通項が現れるはずである. \\[.2zh] 後は,\ 実際に項を書き出して共通項の初項を見つけさえすればよい. \\[.2zh] これ以上なくわかりやすいが,\ 厳密さに欠けるために推奨できない. \\[.2zh] また,\ 簡単に初項が見つからない場合は厄介なことになる.
文字で一般化して求めているので,\ \suuretu{c_n}の一般項が厳密に求まる. \\[1zh] \bm{ax+by=c型(\underline{a,\ bは互いに素})の不定方程式}の解法(数\text A)を簡単に復習する. \\[.2zh] まず,\ 何とかして整数解を1組探し出す.\ 本問では,\ \bm{(l,\ m)=(-\,1,\ -\,1)}\ がある. \\[.2zh] 元の方程式から探し出した整数解を代入したものを引き,\ 一方を移項する.
こうして,\ \bm{aX=bY型(\underline{a,\ bは互いに素})の不定方程式}に帰着する. \\[.2zh] a,\ bは互いに素なので,\ 等号が成立するには,\ Xがbの倍数でなければならない. \\[.2zh] よって,\ 整数kを用いて,\ X=bkと表せる.\ このとき,\ Y=ak\ となる. \\[1zh] l,\ mが整数kの式で表され,\ a_{4k-1}=b_{3k-1}\ が成立することがわかる. \\[.2zh] このときの共通項は,\ a_{4k-1}\ か\ b_{3k-1}\ のどちらかを求めればよい. \\[.2zh] 結局,\ a_3=b_2\ (k=1),\ \ a_7=b_5\ (k=2)\ となっていくことがわかったわけである. \\[1zh] 最後,\ kをnに置換すると,\ \suuretu{c_n}の一般項となる. \\[.2zh] このとき,\ \bm{単純にkとnを置換できるわけではなく,\ 互いの対応を確認する}必要がある. \\[.2zh] \bm{\suuretu{c_n}のnが1から始まるようにしなければならない}からである. \\[.2zh] l,\ mは自然数であるから,\ 整数kはl=4k-1\geqq1,\ m=3k-1\geqq1を満たす必要がある. \\[.2zh] つまり,\ k\geqq\bunsuu12,\ k\geqq\bunsuu23\ より,\ k\geqq1のとき条件を満たす. \\[.6zh] この場合のkは1から始まるといえるわけである. \\[.2zh] であり,\ \suuretu{c_n}のnとkが一致している. \\[.2zh] よって,\ この場合はnとkを単純に置換してもよいことがわかる. \\[1zh] nとkの対応がどうなるかは,\ 不定方程式を解くときに用いた整数解の組に依存する. \\[.2zh] 例えば,\ (l,\ m)=(3,\ 2)\ を用いると,\ l=4k+3,\ m=3k+2\ として求まる. \\[.2zh] このとき,\ a_{4k+3}=3(4k+3)-2=12k+7\ より,\ 単純にk=nとすると間違える. \\[.2zh] 4k+3\geqq1,\ 3k+2\geqq1\ より,\ k\geqq0\ のとき条件を満たす. \\[.2zh] よって,\ この場合のkは0から始まることになる. \\[.2zh] であり,\ \{c_n\}のnとkが一致しない. \\[.2zh] 結局,\ この場合の\suuretu{c_n}のnとkの対応は\ \bm{\textcolor{cyan}{k=n-1}}\ であるとわかる. \\[.2zh] ゆえに,\ 12k+7=12(n-1)+7=12n-5\ としなければ正解が得られないのである.