arithmetical-geometrical-mean

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3数\ p,\ q,\ pq\ (pq)\ は,\ 適当に並べると等差数列になり,\ また,\ 適$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$当に並べると等比数列にもなる.\ このとき,\ p,\ qの値を求めよ.$ \\  文字数を増やさないためには,\ \textbf{\textcolor{blue}{平均形}}で条件を表せばよい. \\[.5zh]  $\bm{3数a,\ b,\ cがこの順で\textcolor{cyan}{等差数列}をなす \textcolor{red}{2b=a+c} (\textcolor[named]{ForestGreen}{b:等差中項})}$ \\[.2zh]  $\bm{3数a,\ b,\ cがこの順で\textcolor{magenta}{等比数列}をなす \textcolor{red}{b^2=ac}  \ \,\,(\textcolor[named]{ForestGreen}{b:等比中項})}$ \\[1.5zh]  本問を単純に考えると,\ 次の点が厄介である. \\  3数のどれが等差中項・等比中項になるかで,\ $3\times3=9$通りもの型がある. \\  これらを全て場合分けして求めるのはあまりに面倒である. \\[1zh]  そこで,\ \textbf{\textcolor{red}{3数の正負に着目して順番を絞り込む}}ことがポイントになる. \\  等差数列・等比数列の構造を考慮すると,\ 正負で順番が絞りこめるのである. \\\\\\  \ より,\ qが等比中項であるから   ここで,\より,\ qが等差中項となることはない.}$ \\[1zh]  $[1]$\ $\textcolor{cyan}{pが等差中項}となるとき  \phantom{ $[1]$}\ このとき $q=4$ \\[1zh]  $[2]$\ $\textcolor{cyan}{pqが等差中項}となるとき \textcolor{red}{2pq=p+q}$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \maru1を代入して整理すると 3数の正負を確認すると (負の項2個と正の項1個)である. \\ \bm{等比数列の構造を考慮}すると,\ 項の順序は\bm{「負,\ 正,\ 負」}しかあり得ない. \\ 正負が混在するならば公比が負であり,\ 公比が負ならば正負は交互になるからだ. \\ よって,\ 等比数列となるのは,\ 「p,\ q,\ pq」と「pq,\ q,\ p」の2通りが考えられる. \\ そして,\ 2通りのいずれであっても,\ 平均形であれば同じ条件式で表される. \\[1zh] 次に,\ 正負を元に,\ 等差数列となるときの順序を考える. \\ 等差数列は,\ 単調増加または単調減少数列である. \\ よって,\ あり得るのは,\ \bm{「負,\ 負,\ 正」か「正,\ 負,\ 負」}のどちらかである. \\ つまり,\ 「負,\ 正,\ 負」になることはなく,\ qが等差中項となる可能性が消える. \\ 結局,\ pとpqが等差中項となる場合を考えればよい. \\ 本来9通りだが,\ 正負を考慮することでわずか2通りに絞られたのである.