arithmetical-geometrical-sum

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次の数列の初項から第$n$項までの和$S$を求めよ. \\[.5zh]  \textbf{\textcolor{red}{公比を掛けたものをずらして引く}}と,\ \textbf{\textcolor{blue}{等比数列の和に帰着}}する. \\  $\bm{\textcolor{magenta}{S-rS}}$\ の計算は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{等比数列の和の公式の導出と同様の発想}}である. 与えられた数列の左側は,\ 1,\ 5,\ 9,\ 13,\ \cdots\ より,\ 初項1,\ 公差4の等差数列である. \\ よって,\ この数列の一般項は 1+(n-1)\cdot4=4n-3 \\ また,\ 右側は,\ 初項1,\ 公比3の等比数列であるから,\ 一般項は 1\cdot3^{n-1}=3^{n-1} \\ ゆえに,\ この数列は,\ (等差)\times(等比)型である. \\[1zh] \bm{Sを和の形で書き出し,\ 等比数列の公比3を掛けた3Sをずらして引く.} \\ このとき,\ \bm{等比数列の部分がそろうようにずらす.} \\ 引いたとき,\ \bm{最後の項が-になる}ことに注意する. \\[1zh] 中央部分を4でくくると\bm{初項3,\ 公比3,\ 項数n-1の等比数列の和}に帰着する. \\ 3^1から3^{n-1}までの和であるから,\ 項数はn-1であることに注意する. \\ 等比数列の和の公式を適用し,\ 整理していく. \\ どこまで整理するかは場合によるが,\ 通常は指数でくくった形がよいだろう. \\ そのためには,\ 本問では\ 2\cdot3\cdot3^{n-1}=2\cdot3^n\ と考えればよい. \\ 2\cdot3\cdot3^{n-1}=6\cdot3^{n-1}\ としてしまうと,\ 3^n\ でくくれなくなる. Σの正体がわからなければ,\ とにかく\bm{和の形で書き出してみる.} \\ 左側は,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots,\ n\ であるから,\ 初項1,\ 公差1の等差数列である. \\ 右側は,\ 1,\ x,\ x^2,\ \cdots\cdots,\ x^{n-1}\ であるから,\ 初項1,\ 公比xの等比数列である. \\ よって,\ この\ \retuwa{k=1}{n}kx^{k-1}\ は,\ 結局は\bm{(等差)\times(等比)型の数列の和}である. \\[1zh] Σの正体に気付きさえすれば,\ (1)と同様にして和を求めることができる. \\ しかし,\ 本問は(1)と異なる点が2つある. \\[1zh] 最も重要な1点は,\ 場合分けしなければならないことである. \\ 等比数列の和の公式は,\ \bm{公比が文字である場合,\ (公比)=1\ の場合分け}を要した. \\ 同様に,\ 本問でも\ (公比x)=1\ を場合分けする必要がある. \\ x=1\ のときは,\ 結局\ \bm{\retuwa{k=1}{n}k}\ である. \\[1zh] もう1点は,\ \bm{初項も含めて等比数列の和}とみなせることである(通常第2項から). \\ よって,\ \bm{初項1,\ 公比x,\ 項数n\ の等比数列の和}を求めることになる. \\ 1=x^0からx^{n-1}までであるから,\ 項数はnである. 数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}Iの微分を利用\ $\bm{(x\neqq1\ の場合)}$}}] \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ $初項x,\ 公比x,\ 項数nの等比数列の和を考える.